Định lý Cauchy (lý thuyết nhóm)

Định lý Cauchy là một định lý trong lý thuyết nhóm được đặt tên theo tên của nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy. Định lý này phát biểu rằng nếu là một nhóm hữu hạn là một số nguyên tố chia hết cấp của (số phần tử trong ) thì trong tồn tại một phần tử có cấp . Tức là trong tồn tại phần tử sao cho là số nguyên dương nhỏ nhất để , với phần tử đơn vị.

Định lý này liên quan đến định lý Lagrange, phát biểu rằng cấp của một nhóm con bất kỳ của một nhóm hữu hạn cho trước đều chia hết cấp của . Định lý Cauchy chứng tỏ rằng với mọi ước nguyên tố của cấp của , tồn tại một nhóm con cyclic của có cấp được sinh bởi phần tử đã được nói tới trong định lý Cauchy.

Tổng quát hơn định lý Cauchy là định lý Sylow thứ nhất, phát biểu rằng: nếu là một nhóm hữu hạn và là ước của cấp của với nguyên tố thì có một nhóm con cấp .

Phát biểu và chứng minh sửa

Định lý Cauchy — Cho   là một nhóm hữu hạn và   là một số nguyên tố. Nếu   chia hết cấp cũng   thì trong   tồn tại một phần tử có cấp  .

Chứng minh sửa

Ta chứng minh bằng quy nạp theo   với   và xét 2 trường hợp   giao hoán và   không giao hoán.

  • G giao hoán:
Nếu   là nhóm đơn, tức là   chỉ có 2 nhóm con là   và chính nó thì nhóm này phải là nhóm cyclic cấp nguyên tố và dĩ nhiên sẽ tồn tại một phần tử có cấp p.
Nếu   không là nhóm đơn thì tồn tại một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường H trong G. Nếu   chia hết   thì theo giả thiết quy nạp, trong   tồn tại một phần tử cấp p và do đó, trong   cũng tồn tại một phần tử cấp p. Ngược lại, theo định lý Lagrange,   phải chia hết chỉ số  , khi đó, theo giả thiết quy nạp, trong nhóm thương   sẽ tồn tại một phần tử có cấp  . Và do đó, trong   tồn tại một phần tử   thỏa  . Khi đó, tồn tại một phần tử   trong   sao cho  . Dễ thấy với mọi phần tử   trong  , tồn tại phần tử   trong   sao cho   nên tồn tại một phần tử   trong   sao cho  . Do đó,   có cấp là   và kết thúc chứng minh cho trường hợp   abel.
  •   không giao hoán: trong tập hợp này,tâm   là một nhóm con không tầm thường của  .
Nếu   chia hết cấp của tâm hóa tử   với   là một phần tử nào đó không thuộc   thì   là một nhóm con không tầm thường và do đó, theo giả thiết quy nạp, trong   tồn tại một phần tử có cấp  .
Ngược lại, nếu   chia hết cấp của   thì khi đó,   chia hết chỉ số   với   là một phần tử nào đó không thuộc  . Từ   ta có p chia hết cấp của   và do đó, tâm chứa một phần tử có cấp   và do đó,   chứa một phần tử có cấp  . Kết thúc chứng minh.

Hệ quả sửa

Nếu   là một nhóm hữu hạn (không nhất thiết giao hoán) thỏa tính chất mọi phần tử khác   trong   đều có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố cho trước thì   có cấp là một là lũy thừa của một số nguyên tố   cho trước thì   có cấp là một lũy thừa của  

Chú thích sửa

Tham khảo sửa

  • Cauchy, Augustin-Louis (1845), “Mémoire sur les arrangements que l'on peut former avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre”, Exercises d'analyse et de physique mathématique, Paris, 3: 151–252
  • Cauchy, Augustin-Louis (1932), “Oeuvres complètes” (PDF), Lilliad - Université de Lille - Sciences et Technologies, second series , Paris: Gauthier-Villars, 13: 171–282
  • Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic Algebra, Dover Books on Mathematics, I , Dover Publications, tr. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
  • McKay, James H. (1959), “Another proof of Cauchy's group theorem”, American Mathematical Monthly, 66 (2): 119, CiteSeerX 10.1.1.434.3544, doi:10.2307/2310010, JSTOR 2310010, MR 0098777, Zbl 0082.02601

Liên kết ngoài sửa