Độ cong của một đường cong
sửa
Định nghĩa
sửa
Theo Cauchy , tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong
R
{\displaystyle R}
κ
{\displaystyle \kappa }
bán kính cong
R
{\displaystyle R}
κ
=
1
R
{\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}}
Gọi
d
s
{\displaystyle ds}
pháp tuyến cách nhau, và
d
ϕ
{\displaystyle d\phi }
pháp tuyến . Ta có định nghĩa khác về độ cong:
κ
=
d
ϕ
d
s
{\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}}
Tính độ cong của một đường cong phẳng
sửa
Trong hệ tọa độ Descartes
sửa
Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số
{
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
{\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}}
κ
=
d
ϕ
d
s
=
d
ϕ
d
t
d
s
d
t
=
d
ϕ
d
t
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
=
d
ϕ
d
t
x
′
2
+
y
′
2
{\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\dfrac {ds}{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}}
d
ϕ
{\displaystyle d\phi }
pháp tuyến , ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến . Từ đó ta có thể định nghĩa
ϕ
{\displaystyle \phi }
góc tiếp tuyến của đường cong.
tan
ϕ
=
d
y
d
x
=
d
y
d
t
d
x
d
t
=
y
′
x
′
{\displaystyle \tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}}={\dfrac {y'}{x'}}}
Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số
t
{\displaystyle t}
d
d
t
(
tan
ϕ
)
=
(
1
+
tan
2
ϕ
)
d
ϕ
d
t
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
x
′
2
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\tan \phi )=\left(1+{\tan }^{2}\phi \right){\frac {d\phi }{dt}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}}
⇔
d
ϕ
d
t
=
1
1
+
tan
2
ϕ
x
′
y
″
−
y
′
x
″
x
′
2
=
1
1
+
(
y
′
x
′
)
2
x
′
y
″
−
y
′
x
″
x
′
2
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
x
′
2
+
y
′
2
{\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\frac {1}{1+{\left({\dfrac {y'}{x'}}\right)^{2}}}}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}
Kết hợp các kết quả thu được ta có:
κ
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
(
x
′
2
+
y
′
2
)
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}}
Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
κ
=
d
2
y
d
x
2
[
1
+
(
d
y
d
x
)
2
]
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}
Trong hệ tọa độ cực
sửa
Xem thêm: Hệ tọa độ cực Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số
r
=
r
(
θ
)
{\displaystyle r=r(\theta )}
κ
=
r
2
+
2
(
d
r
d
θ
)
2
−
r
d
2
r
d
θ
2
[
r
2
+
(
d
r
d
θ
)
2
]
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}
Đường thẳng
sửa
Đường thẳng
{
x
=
t
y
=
a
t
+
b
{\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}}}
y
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=ax+b}
x
′
=
1
,
x
″
=
0
,
y
′
=
a
,
y
″
=
0
,
d
y
d
x
=
a
,
d
2
y
d
x
2
=
0
{\displaystyle x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}
Áp dụng công thức ta có:
κ
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
(
x
′
2
+
y
′
2
)
3
/
2
=
1
⋅
0
−
a
⋅
0
(
1
2
+
a
2
)
3
/
2
=
0
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left({1}^{2}+{a}^{2}\right)^{3/2}}}=0}
hay công thức:
κ
=
d
2
y
d
x
2
[
1
+
(
d
y
d
x
)
2
]
3
/
2
=
0
[
1
+
a
2
]
3
/
2
=
0
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0}
Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.
Đường tròn
sửa
Đường tròn
{
x
=
R
cos
t
y
=
R
sin
t
{\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}}}
r
=
R
{\displaystyle r=R}
x
′
=
−
R
sin
t
,
x
″
=
−
R
cos
t
,
y
′
=
R
cos
t
,
y
″
=
−
R
sin
t
,
d
r
d
θ
=
0
,
d
2
r
d
θ
2
=
0
{\displaystyle x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }}=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=0}
Áp dụng công thức ta có:
κ
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
(
x
′
2
+
y
′
2
)
3
/
2
=
(
−
R
sin
t
)
⋅
(
−
R
sin
t
)
−
(
R
cos
t
)
⋅
(
−
R
cos
t
)
[
(
−
R
sin
t
)
2
+
(
R
cos
t
)
2
]
3
/
2
=
1
R
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}
hay công thức:
κ
=
r
2
+
2
(
d
r
d
θ
)
2
−
r
d
2
r
d
θ
2
[
r
2
+
(
d
r
d
θ
)
2
]
3
/
2
=
R
2
+
2
⋅
0
2
−
R
⋅
0
[
R
2
+
0
2
]
3
/
2
=
1
R
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}
Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.
Các đường khác
sửa
Đường parabol
y
=
a
x
2
{\displaystyle y=ax^{2}}
d
y
d
x
=
2
a
x
,
d
2
y
d
x
2
=
2
a
{\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}=2ax,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2a}
Áp dụng công thức ta có:
κ
=
d
2
y
d
x
2
[
1
+
(
d
y
d
x
)
2
]
3
/
2
=
2
a
[
1
+
(
2
a
x
)
2
]
3
/
2
=
2
a
(
1
+
4
a
2
x
2
)
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}
Đường ellipse
{
x
=
a
cos
t
y
=
b
sin
t
{\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}}
x
′
=
−
a
sin
t
,
x
″
=
−
a
cos
t
,
y
′
=
b
cos
t
,
y
″
=
−
b
sin
t
{\displaystyle x'=-a\sin t,\quad x''=-a\cos t,\quad y'=b\cos t,\quad y''=-b\sin t}
Áp dụng công thức ta có:
κ
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
(
x
′
2
+
y
′
2
)
3
/
2
=
(
−
a
sin
t
)
⋅
(
−
b
sin
t
)
−
(
b
cos
t
)
⋅
(
−
a
cos
t
)
[
(
−
a
sin
t
)
2
+
(
b
cos
t
)
2
]
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}}
=
a
b
[
(
a
y
b
)
2
+
(
b
x
a
)
2
]
3
/
2
=
a
b
[
a
2
(
1
−
x
2
a
2
)
+
b
2
a
2
x
2
]
3
/
2
{\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}}
=
a
b
[
a
2
−
(
1
−
b
2
a
2
)
x
2
]
3
/
2
=
a
b
(
a
2
−
e
2
x
2
)
3
/
2
{\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}
với
e
=
1
−
b
2
a
2
{\displaystyle e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
Độ cong của một đường cong ghềnh
sửa
Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes
{
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
z
=
z
(
t
)
{\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}}
κ
=
(
z
″
y
′
−
y
″
z
′
)
2
+
(
x
″
z
′
−
z
″
x
′
)
2
+
(
y
″
x
′
−
x
″
y
′
)
2
(
x
′
2
+
y
′
2
+
z
′
2
)
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}
Độ cong của một mặt cong
sửa
Độ cong Gauss
sửa
Độ cong trung bình
sửa
Độ cong của một không gian
sửa
Tenxơ độ cong Riemann
sửa
Tenxơ độ cong Ricci
sửa
Xem thêm
sửa
Tham khảo
sửa
John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad34fc9950d1712cf25064a3aaa0234596db306a)
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395ad96a97938b0546bf4a2d98315aaa49e09fc3)
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44ac5f0c825eb6c60090546dfca1ebc035a8f5a)
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d3385d9e0b22a67c64ed480eb8d64543719ac7)
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b98f1b92ec4aeff9c4da491aaddbfd5d3da0401)
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997d11e6d3c843c34710e2e720ec4f5a7cd9b409)
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0de28e2f5fa9f5af9356d7e96d4735e473a8815)
![{\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b25e2987a84a6c85627274d4d77b36332e22400)
![{\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25bcde9b5dc419805a6ebca80d610b79192f9510)
