Với n ≥ 2, giai thừa nguyên tố (tiếng Anh: primorial) (ký hiệu n#) là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2·3·5·7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của primefactorial.

Dãy các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).

Định nghĩa cho các số nguyên tố sửa

 
pn# là một hàm của n, các điểm đã logarit hóa.

Đối với số nguyên tố tứ n pn, primorial pn# được định nghĩa là tích của n số nguyên tố đầu tiên:[1][2]

 ,

trong đó pk là số nguyên tố thứ k. Để lấy ví dụ, p5# là tích của 5 số nguyên tố đầu tiên:

 

5 primorial pn# đầu tiên là:

2, 6, 30, 210, 2310 (dãy số A002110 trong bảng OEIS).

Dãy cũng bao gồm p0# = 1tích rỗng. Theo tiệm cận thì, các primorial pn# lớn ngang với:

 

trong đó o( )ký hiệu o nhỏ.[2]

Định nghĩa cho các số tự nhiên sửa

 
So hàm n# (các điểm màu đỏ) với hàm n!. Cả hai hàm đều đã được logarit hóa.

Đối với số tự nhiên n, primorial của n, n#, là tích của các số nguyên tố không lớn hơn n; nghĩa là,[1][3]

 ,

trong đó π(n)hàm đếm số nguyên tố (dãy số A000720 trong bảng OEIS), hàm đếm các số nguyên tố pn. Định nghĩa này tương đương với:

 

Để lấy ví dụ, 12# là tích của các số nguyên tố p ≤ 12:

 

Bởi π(12) = 5, ta cũng có thể tính như sau:

 

12 giá trị đầu tiên của n# là :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Tính chất và ứng dụng sửa

Ý tưởng lấy tích của tất cả các số nguyên tố nằm trong chứng minh số các số nguyên tố là vô hạn; nó được sử dụng để mâu thuẫn khi giả thiết rằng số các số nguyên tố là hữu hạn.

Các Primorial đóng vai trò quan trọng trong việc tìm các số nguyên tố trong cấp số cộng. Chẳng hạn, 2236133941 + 23# là một số nguyên tố, khởi đầu dãy 13 số nguyên tố bằng cách cộng thêm 23#, và kết thúc với 5136341251. Số 23# chính là công bội của các cấp số cộng gồm mười lăm và mười sáu số nguyên tố.

Mọi siêu hợp số có thể viết thành tích của các giai thừa nguyên tố (ví dụ như 360 = 2·6·30).

Bảng các giai thừa nguyên tố sửa

n n# pn pn#[4] số nguyên tố Primorial?
pn# + 1[5] pn# − 1[6]
0 1 1 Không
1 1 2 2 Không
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210 Không
5 30 11 2310
6 30 13 30030 Không
7 210 17 510510 Không Không
8 210 19 9699690 Không Không
9 210 23 223092870 Không Không
10 210 29 6469693230 Không Không
11 2310 31 200560490130 Không
12 2310 37 7420738134810 Không Không
13 30030 41 304250263527210 Không
14 30030 43 13082761331670030 Không Không
15 30030 47 614889782588491410 Không Không
16 30030 53 32589158477190044730 Không Không
17 510510 59 1922760350154212639070 Không Không
18 510510 61 117288381359406970983270 Không Không
19 9699690 67 7858321551080267055879090 Không Không
20 9699690 71 557940830126698960967415390 Không Không
21 9699690 73 40729680599249024150621323470 Không Không
22 9699690 79 3217644767340672907899084554130 Không Không
23 223092870 83 267064515689275851355624017992790 Không Không
24 223092870 89 23768741896345550770650537601358310 Không
25 223092870 97 2305567963945518424753102147331756070 Không Không
26 223092870 101 232862364358497360900063316880507363070 Không Không
27 223092870 103 23984823528925228172706521638692258396210 Không Không
28 223092870 107 2566376117594999414479597815340071648394470 Không Không
29 6469693230 109 279734996817854936178276161872067809674997230 Không Không
30 6469693230 113 31610054640417607788145206291543662493274686990 Không Không
31 200560490130 127 4014476939333036189094441199026045136645885247730 Không Không
32 200560490130 131 525896479052627740771371797072411912900610967452630 Không Không
33 200560490130 137 72047817630210000485677936198920432067383702541010310 Không Không
34 200560490130 139 10014646650599190067509233131649940057366334653200433090 Không Không
35 200560490130 149 1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410 Không Không
36 200560490130 151 225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910 Không Không
37 7420738134810 157 35375166993717494840635767087951744212057570647889977422429870 Không Không
38 7420738134810 163 5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810 Không Không
39 7420738134810 167 962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270 Không Không
40 7420738134810 173 166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710 Không Không

Xem thêm sửa

Tham khảo sửa

  1. ^ a b Weisstein, Eric W., "Primorial", MathWorld.
  2. ^ a b (dãy số A002110 trong bảng OEIS)
  3. ^ (dãy số A034386 trong bảng OEIS)
  4. ^ “Table of the first 100 primorials”.
  5. ^ Sloane, N. J. A. (biên tập). “Dãy A014545 (Primorial plus 1 prime indices)”. Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  6. ^ Sloane, N. J. A. (biên tập). “Dãy A057704 (Primorial - 1 prime indices)”. Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  • Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.

Liên kết sửa