Số nguyên tố họ hàng

Trong toán học, một số nguyên tố họ hàng (cousin prime) là một cặp số nguyên tố lệch nhau bốn đơn vị; các số nguyên tố họ hàng dưới 1000 theo A023200 và A046132 (trong OEIS) là:

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 441), (457, 461), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)

Tính chất

Số nguyên tố duy nhất thuộc về hai cặp số nguyên tố họ hàng là số 7. Một trong 3 giá trị n, n+4, n+8 luôn chia hết bởi 3, nên n = 3 là trường hợp duy nhất sao cho cả 3 giá trị này nguyên tố.

Một ví dụ của cặp số nguyên tố đã được chứng minh (p, p + 4) là

p = 4111286921397 · 2⁶⁶⁴²⁰ + 1

cặp này có 20008 chữ số. Hơn nữa, đây còn là 1 phần của bộ ba số nguyên tố bởi p còn là số nguyên tố sinh đôi (bởi p − 2 cũng là số nguyên tố đã được chứng minh).

Tính đến tháng 4 năm 2022, Cặp số nguyên tố họ hàng lớn nhất được tìm thấy bởi S. Batalov và nó có 51,934  chữ số. Cặp số nguyên tố đó là:

p = 29055814795 x (2¹⁷²⁴⁸⁶ - 2⁸⁶²⁴³) + 2⁸⁶²⁴⁵ - 3

p+4 = 29055814795 x (2¹⁷²⁴⁸⁶ - 2⁸⁶²⁴³) + 2⁸⁶²⁴⁵ + 1

Từ giả thuyết Hardy–Littlewood, ta tìm được số nguyên tố họ hàng có mật độ tiệm cận với số nguyên tố sinh đôi. Do đó, ta có thể tính tương tự hằng số Brun cho số nguyên tố họ hàng như với số nguyên tố sinh đôi, gọi là Hằng Brun cho số nguyên tố họ hàng, với cặp (3, 7) ẩn đi bằng tổng hội tụ:

$B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .$

Tính các số nguyên tố họ hàng lên tới 2⁴², giá trị của B₄ được tính xấp xỉ bởi Marek Wolf trong 1996 bởi

B₄ ≈ 1.1970449.

Hằng số này không nên nhầm lẫn với hằng số Brun dành cho bộ bốn số nguyên tố, cũng được ký hiệu B₄.

Số Skewes cho số nguyên tố họ hàng là $5206837$ (Tóth (2019)).

Xem thêm

• Bảng số nguyên tố

Liên kết

• MathWorld: Cousin Primes