Thành viên:Tranhaian130809/căn bậc hai của i

Đề bài: tìm giá trị của ${\sqrt {i}}$.

Giả sử ${\sqrt {i}}$ là số ảo, ta có:

${\sqrt {i}}=a+bi$ (với $i$ là đơn vị ảo)
$\Leftrightarrow i=(a+bi)^{2}$
$\Leftrightarrow i=a^{2}+2abi+(bi)^{2}$
$\Leftrightarrow i=a^{2}+2abi-b^{2}\quad ({\text{vì}}i^{2}=-1)$
$\Leftrightarrow 0+1i=(a^{2}+b^{2})+(2ab)$
$\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}a^{2}-b^{2}=0\\2ab=1\\\end{matrix}}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}a^{2}=b^{2}\\2ab=1\\\end{matrix}}\right.$

Vậy a=b hoặc a và b trái dấu nhau.

$2ab=1$
$\Leftrightarrow ab={\frac {1}{2}}$

Vì ${\frac {1}{2}}$ là số dương nên a và b cùng dấu.

$\Rightarrow a^{2}={\frac {1}{2}}$
$\Leftrightarrow a=\pm {\sqrt {\frac {1}{2}}}$
$\Leftrightarrow a=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$

Vậy nếu $a={\frac {\sqrt {2}}{2}}\quad {\text{thì}}\quad b={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ và $a=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\quad {\text{thì}}\quad b=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$

Ta có ${\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\quad {\text{hoặc}}\quad -{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$