Toán học tổ hợp

Toán học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hợp có hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp,... các phần tử của một tập hợp.

Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học, như đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) và hình học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy tính và vật lý thống kê.

Toán học tổ hợp liên quan đến cả khía cạnh giải quyết vấn đề lẫn xây dựng cơ sở lý thuyết, mặc dù nhiều phương pháp lý thuyết vững mạnh đã được xây dựng, tập trung vào cuối thế kỷ XX (xem trang Danh sách các chủ đề trong toán học tổ hợp). Một trong những mảng lâu đời nhất của toán học tổ hợp là lý thuyết đồ thị, mà bản thân lý thuyết này lại có nhiều kết nối tự nhiên đến các lĩnh vực khác.

Toán học tổ hợp được dùng nhiều trong khoa học máy tính để có được công thức và ước lượng trong phân tích thuật toán.

Các bài toán cơ bản

1. Bài toán đếm: Đếm các cấu hình thỏa mãn những tính chất nào đó
2. Bài toán liệt kê tổ hợp: Liệt kê tất cả các cấu hình thỏa mãn một tính chất nào đó
3. Bài toán tìm kiếm: Tìm kiếm một hoặc một số cấu hình thỏa mãn một tính chất nào đó
4. Bài toán tồn tại: Chỉ ra sự tồn tại/không tồn tại một cấu hình tổ hợp thoả mãn một tính chất nào đó
5. Bài toán sinh ngẫu nhiên

Một số cấu hình chính

Cho tập hữu hạn gồm $n$ phần tử: $A=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$

• Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đó là một bộ sắp thứ tự k phần tử của A, các phần tử có thể lấy lặp lại.
• Chỉnh hợp (không lặp) chập k ($0\leq k\leq n$) của n phần tử đó là một bộ sắp thứ tự k phần tử của A, các phần tử đôi một khác nhau.
• Hoán vị của n phần tử đã cho là một cách sắp xếp các phần tử của nó trên đường thẳng.
• Hoán vị vòng quanh của n phần tử đã cho là một cách sắp xếp các phần tử của nó trên đường tròn.
• Tổ hợp chập k các phần tử của A $(0\leq k\leq n)$ là một tập con k phần tử $(0\leq k\leq n)$ của tập A.
• Chỉnh hợp lặp với tần số cho trước $k_{1},k_{2},...,k_{n}$ là chỉnh hợp lăp chập k với $k=k_{1}+k_{2}+...+k_{n}$ trong đó $a_{1}$ xuất hiện đúng $k_{1}$ lần, $a_{2}$ xuất hiện $k_{2}$ lần, $a_{n}$ xuất hiện $k_{n}$ lần.
• Tổ hợp bội hay tổ hợp lặp chập k các phần tử của một tập hợp n phần tử là một cách lấy ra $k$ lần $(k\geq 0)$ các phần tử của một tập hợp, trong đó mỗi phần tử có thể lấy ra nhiều lần.
• Ví dụ cho $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ và $k=5$
  • Các chỉnh hợp lặp chập 5 của 7 phần tử có thể là: $24355,11111,22334,43215,...$
  • Các chỉnh hợp không lặp chập 5 của 7 như: 12345, 23456, 73241...
  • Các tổ hợp chập 5 như: $\{1,2,3,4,5\},\{2,3,4,5,6\},\{3,4,5,6,7\}...$
  • Tổ hợp lặp 22234557777 là tổ hợp lặp với tần số 0,3,1,1,2,0,4

Một số công thức tính

1. Công thức tính số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là $F(n,k)=n^{k}$
2. Số hoán vị của n phần tử là n!
3. Công thức tính số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là $A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}$
4. Công thức tính số các tổ hợp chập k của n phần tử là $C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$
5. Công thức tính số 0 ngăn cách thành n nhóm số 1, trong đó có k lần xuất hiện số 1 vì mỗi số 1 tương ứng với một phần tử được chọn và số thứ tự phần tử được chọn là số thứ tự của nhóm. Một nhóm trong đó có thể là rỗng nếu không có số 1 nào giữa hai số 0 liên tiếp. Như vậy mỗi một chuỗi (n – 1 + k) số như trên tương đương một chỉnh hợp lặp chặp k của n phần tử. Chuỗi trên có phân biệt vị trí trước và sau gồm hai phần là phần số 0 và phần số 1. Nếu ta chọn ra k vị trí để đánh số 1 thì các vị trí còn lại trong n + k – 1 vị trí sẽ phải là 0. Số cách chọn như vậy lại là số tổ hợp chập k của n + k – một phần tử. Vậy số chỉnh hợp lặp có công thức như đã nêu trên.

Bài toán liệt kê

Thứ tự từ điển

Trong các bộ từ điển, các từ được liệt kê theo thứ tự được gọi là thứ tự từ điển. Cho hai từ dưới dạng xâu của các ký tự

$x=x_{1}x_{2}...x_{m}$

$y=y_{1}y_{2}...y_{n}$

Từ x được gọi là đứng trước từ y theo thứ tự từ điển nếu tồn tại chỉ số i, $1\leq i\leq min\{m,\,n\}$ sao cho

$\forall j\leq i\,:\,x_{j}=y_{j}$

$x_{i}$ đứng trước $y_{i}$

Chú ý: Nếu $j>m$ thì ta coi $x_{j}$ là ký tự rỗng, tương tự nếu $j>n$ thì coi $y_{j}$ là ký tự rỗng, ký tự rỗng đứng trước mọi ký tự khác.

Liệt kê các hoán vị của tập n phần tử

Việc liệt kê toàn bộ các hoán vị của tập $X=\{x_{1},x_{2},...,x_{m}\}$ được quy về việc liệt kê tất cả n! hoán vị của tập chỉ số $\{1,2,...,n\}$. Ta sẽ liệt kê các hoán vị của n số tự nhiên $\{1,2,...,n\}$ theo thứ tự từ điển. Nhận xét rằng, khi xếp theo thứ tự từ điển, hoán vị đứng trước tiên sẽ là hoán vị $(1,2,3,...,n-1,n)$, hoán vị đứng cuối cùng sẽ là hoán vị $(n,n-1,...,2,1)$. Ví dụ với n=5, hoán vị đứng đầu là (1,2,3,4,5), đứng cuối là (5,4,3,2,1). Trong hoán vị đầu tiên mỗi số đều nhỏ hơn số đứng ngay sau nó, trong hoán vị cuối cùng thì ngược lại. Vậy kế tiếp sau hoán vị đầu tiên là hoán vị nào?

Hoán vị kế tiếp của một hoán vị (theo thứ tự từ điển)

Giả sử có hoán vị

$x=(x_{1},x_{2},...,x_{n-1},x_{n})$ của n số $1,2,...,n$.

• Thuật toán sinh hoán vị kế tiếp
  1. Tìm từ bên phải sang chỉ số $i$ sao cho $x_{i-1}<x_{i}$.
  2. Nếu không tìm thấy thì trả lời x là hoán vị cuối cùng, không có hoán vị kế tiếp.
  3. Nếu có i như vậy:
     • sắp xếp các giá trị $x_{i},...,x_{n}$ theo thứ tự tăng dần.
     • đổi chỗ $x_{i-1}$ cho phần tử lớn hơn $x_{i-1}$ gần nhất trong các giá trị $x_{i},...,x_{n}$

Ví dụ: với n=5

• kế tiếp của hoán vị $(1,2,3,4,5)$ là hoán vị $(1,2,3,5,4$)
• kế tiếp của hoán vị $(1,2,3,5,4)$ là hoán vị $(1,2,4,3,5)$
• kế tiếp của hoán vị $(1,2,4,3,5)$ là hoán vị $(1,2,4,5,3)$

...

• kế tiếp của hoán vị $(5,4,3,1,2)$ là hoán vị $(5,4,3,2,1)$

Thuật toán liệt kê tất cả các hoán vị của n số 1,2,...,n

1. Khởi tạo: $x=(1,2,...,n)$
2. Tìm x' là hoán vị kế tiếp của x
3. Nếu không tìm được thì dừng.
4. Nếu thấy, thay x bằng x' quay lại 2.

Ví dụ: Liệt kê 24 hoán vị của 1,2,3,4 theo thứ tự từ điển

1234	1243	1324	1342	1423	1432
2134	2143	2314	2341	2413	2431
3124	3142	3214	3241	3412	3421
4123	4132	4213	4231	4312	4321

Ví dụ

Cho tập A gồm 5 chữ số hệ thập phân A={1,2,3,4,5}

1. Số các số tự nhiên 4 chữ số lập thành từ 5 chữ số trên là $5^{4}=625$.
2. Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau lập thành từ 5 chữ số trên là $A_{5}^{3}={\frac {5!}{2!}}=60$.
3. Số các tập con 3 phần tử của 5 chữ số trên là $C_{5}^{3}={\frac {5!}{2!3!}}=10$.
4. Số các hoán vị của 5 số đó là $5!=120$.
5. Số các hoán vị vòng quanh là $Q(n)=4!=24$.
6. Số các hoán vị khác nhau có thể có khi hoán vị các chữ cái trong từ XAXAM là ${\frac {5!}{2!2!1!}}=30$.
7. Số cách chia 7 chiếc kẹo cho 4 trẻ em là tổ hợp lặp chập 4 của 7