Vết (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, vết (Tiếng Anh: trace) của một ma trận vuông A bậc nxn được xác định bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính (đường nối từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải) của A .

$\mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$

với a_ii là ký hiệu phần tử ở hàng thứ i và cột thứ i của A. Tương đương với vết của ma trận là tổng của các trị riêng của nó, và nó bất biến khi thay đổi cơ sở. Sự đặc trưng hóa này có thể sử dụng để xác định vết cho các toán tử tuyến tính trong trường hợp tổng quát. Chú ý rằng, vết chỉ được định nghĩa cho một ma trận vuông.

Xét về ý nghĩa hình học, vết ma trận có thể được giải thích như là một sự thay đổi nhỏ của thể tích (như đạo hàm của định thức), và được miêu tả chính xác bằng công thức Jacobi..

Ký hiệu của nó thường là Sp hoặc Tr.

Ví dụ

Gọi T là một toán tử tuyến tính biểu diễn bằng ma trận

${\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}.$

Thì tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

Tính chất

Liên hệ với các giá trị riêng

Vết của ma trận A bằng tổng các giá trị riêng của nó .

$tr(A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$,

trong đó $\lambda _{i}$ là giá trị riêng của A. Chú ý rằng tính chất này mặc định rằng A có đúng n giá trị riêng và có thể tồn tại hai chỉ số i và j thuộc [1,n] sao cho:

$\lambda _{i}=\lambda _{j}$

Ví dụ ma trận đơn vị cấp n ($I_{n}$) trên thực tế có đúng một giá trị riêng là 1. Tuy nhiên khi nhắc tới sự liên hệ giữa vết của $I_{n}$ và tổng các giá trị riêng của nó, ta có thể coi $I_{n}$ có đúng n giá trị riêng và tất cả các giá trị riêng đó đều bằng 1. Khi đó tính chất được thoả mãn:

$tr(I_{n})=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\sum _{i=1}^{n}1=n$

Tuyến tính

Vết là một ánh xạ tuyến tính từ không gian các ma trận vuông cùng cấp lên $R$. Cụ thể, cho A,B là các ma trận vuông cùng cấp và c là hằng số, khi đó:

$tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$,

$tr(c\cdot A)=c\cdot tr(A)$.

Giao hoán

Cho A là ma trận m hàng n cột, còn B là ma trận n hàng và m cột, thì :

$tr(AB)=tr(BA)$. dù $AB\neq BA$

Với trường hợp A là ma trận kích cỡ m x n, B là ma trận kích cỡ n x p và C là ma trận kích cỡ p x m, tính chất vẫn đúng với tích của ba ma trận ABC và các hoán vị vòng quanh của nó:

$tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)$

Tuy nhiên:

$tr(ABC)\neq tr(CBA)$

vì CBA không phải là hoán vị vòng quanh của ABC, kể cả khi tích CBA được xác định.

Vết của ma trận liên hợp

Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì, Cho P là ma trận vuông cấp n và khả nghịch. Liên hợp của A theo P là $PAP^{-1}$, khi đó ta có:

$tr(A)=tr(PAP^{-1})$,

có nghĩa là khi ta lấy liên hợp của ma trận thì vết của nó không thay đổi.

Vết của ma trận chuyển vị

Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì, $A^{T}$ là ma trận chuyển vị của nó. Ta có:

$tr(A)=tr(A^{T})$.

Vết của tích ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng

Vết của tích ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng bằng 0. Có nghĩa là: Nếu A là ma trận đối xứng và B là ma trận phản đối xứng, thì:

$tr(AB)=0$.

Vết của ma trận lũy đẳng

Vết của ma trận lũy đẳng A (ma trận A sao cho A² = A) bằng hạng của A.

Vết của ma trận lũy linh

Vết của ma trận lũy linh A bằng 0.

Xem thêm

• Giá trị riêng
• Đường chéo chính