Trong toán học, ánh xạ là khái quát của khái niệm hàm số, trong đó tập nguồn và tập đích không nhất thiết phải là tập số thực hay tập con của tập số thực.[1]

Bài này chỉ viết về các ánh xạ đơn trị.

Định nghĩaSửa đổi

Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu  ) là một quy tắc cho mỗi phần tử x   X tương ứng với một phần tử xác định y   Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu  ,[2] nghĩa là  .

Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.[2]

Với mỗi  , tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, ký hiệu là  . Ta có .[3]

Với mỗi tập con  , tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của   qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f(A). Ta có .[3]

Với mỗi tập con  , tập con của X gồm các phần tử x có ảnh   được gọi là tạo ảnh của tập B ký hiệu là  . Ta có .[3]

Trong tương quan với khái niệm quan hệ, ta cũng có thể định nghĩa:

Một ánh xạ   từ tập X vào tập Y là một quan hệ   từ X vào Y thoả mãn điều kiện: mọi phần tử   đều có quan hệ   với một và chỉ một phần tử  .


Vài tính chất cơ bảnSửa đổi

 
  • Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh
  
  • Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh
 
  • Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh
 

Toàn ánh, đơn ánh và song ánhSửa đổi

  • Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y. Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y[4]
 
hay
 
  • Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y. Đơn ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này.[5]
 
hay
 
  • Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là ánh xạ "onto" (từ X lên Y).[4]

Một số ánh xạ đặc biệtSửa đổi

  • Ánh xạ không đổi (ánh xạ hằng): là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x   X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất     Y.
  • Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f(x)=x.[5]
  • Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con   vào Y cho f(x)= x với mọi   (cũng được gọi là đơn ánh chính tắc).[5] Khi đó ta ký hiệu f: X   Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu   là đơn ánh, khi xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con  , f sẽ là song ánh. Lúc đó ta có tương ứng 1-1 giữa X với f(X) nên có thể thay thế các phần tử của tập con   bằng các phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.

Các phép toánSửa đổi

Ánh xạ hợpSửa đổi

Cho hai ánh xạ   . Hợp của hai ánh xạ f, g, ký hiệu là   là ánh xạ từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức   (cũng được gọi là tích ánh xạ của f và g).[4]

Một số tính chất của ánh xạ hợp

  • Nếu   là đơn ánh thì f là đơn ánh.
  • Nếu   là toàn ánh thì g là toàn ánh.
  • Nếu   là song ánh thì f và g đều là song ánh.

Ánh xạ nghịch đảoSửa đổi

Cho ánh xạ  là toàn ánh. Nếu tồn tại ánh xạ   sao cho

 

 

thì g được gọi là nghịch đảo, hay ánh xạ ngược, của f, ký hiệu là  .

Ánh xạ f có nghịch đảo khi và chỉ khi f là song ánh.[6]

Ánh xạ thu hẹpSửa đổi

Cho ánh xạ   và một tập con  . Ánh xạ thu hẹp của   về   là một ánh xạ từ   vào  , ký hiệu  , xác định bởi đẳng thức  .[7] Ánh xạ thu hẹp là duy nhất.

Ánh xạ mở rộngSửa đổi

Cho ánh xạ   và một tập hợp   sao cho  . Một ánh xạ mở rộng của   tới   là một ánh xạ   từ   vào   sao cho  .[7] Nói chung, với mỗi ánh xạ đã cho, có nhiều ánh xạ mở rộng khả dĩ.

Các khái niệm ánh xạ khác (dịch từ tiếng Anh)Sửa đổi

Xem thêmSửa đổi

Liên kếtSửa đổi

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê


Ghi chúSửa đổi

  1. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 12
  2. ^ a ă Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 11
  3. ^ a ă â Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 13
  4. ^ a ă â Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 15
  5. ^ a ă â Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 14
  6. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), Định lí 5, tr. 16
  7. ^ a ă Hoàng Xuân Sính (1972), tr.17

Tham khảoSửa đổi

  • Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), 1972, NXB Giáo Dục