Đường tròn Euler
Đường tròn Euler, đường tròn Feuerbach, đường tròn Terquem, đường tròn chín điểm, đường tròn trung bình,... là những cái tên của đường tròn có thể vẽ được với bất kì tam giác cho trước nào. Sở dĩ nó có tên là đường tròn chín điểm là vì nó đi qua chín điểm sau của một tam giác:
- Chân của ba đường cao
- Ba trung điểm của ba cạnh
- Ba trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm
Chín điểm quan trọngSửa đổi
Hình bên phải cho ta thấy chín điểm quan trọng của đường tròn Euler. Các điểm D, E và F là trung điểm của ba cạnh của tam giác. Điểm G, H và I là chân của ba đường cao của tam giác. Các điểm J, K và L là trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh (các điểm A, B và C) và trực tâm (điểm S) của tam giác.
Đối với tam giác nhọn, sáu trên chín điểm (trung điểm của các cạnh và chân của đường cao) nằm trên chính tam giác đó. Đối với tam giác tù, hai đường cao có chân nằm ngoài tam giác nhưng hai chân đó vẫn nằm trên đường tròn Euler.
Tính chấtSửa đổi
- Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác thì đường tròn Euler có bán kính là R/2 và tâm của nó là trung điểm đoạn nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.
- Nếu có một hệ thống trực giao của 4 điểm đã cho thì các tam giác có đỉnh là 3 trong 4 điểm đó đều có chung đường tròn Euler.
- Các tâm đường tròn nội tiếp và các đường tròn bàng tiếp lập thành một hệ thống trực giao có đường tròn Euler chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác gốc.
- Với có bốn điểm phân biệt bất kỳ A,B,C,D thì các đường tròn Euler của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy tại một điểm.
Định lý liên quanSửa đổi
- Định lý Feuerbach về đường tròn chín điểm và các đường tròn nội tiếp bàng tiếp: Đường tròn Euler của một tam giác tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp của tam giác đó.
- Định lý Feuerbach về đường hyperbol chữ nhật trong tam giác: Tâm của tất cả mọi đường hyperbol chữ nhật đều nằm trên đường tròn Euler.[1]
- Định lý Bliss: Cho ba đường thẳng song song đi qua ba trung điểm của ba cạnh của tam giác khi đó đối xứng của ba cạnh tam giác đó qua ba đường thẳng này một cách lần lượt sẽ đồng quy tại đường tròn chín điểm của tam giác đó.[2]
- Định lý Thebault: Cho tam giác ABC với các đường cao AA', BB', CC'. Các đường thẳng Euler của các tam giác AB'C', A'BC', A'B'C sẽ đồng quy trên đường tròn Euler của tam giác ABC tại một điểm P thoả mãn moả một trong các khoảng cách PA', PB', PC' bằng tổng 2 khoảng cách còn lại.
Hệ thứcSửa đổi
Thêm
Xem thêmSửa đổi
Tham khảoSửa đổi
- ^ “Feuerbach's Conic Theorem”. Truy cập 7 tháng 10 năm 2015.
- ^ This was first discovered in May, 1999 by a high school student, Adam Bliss, in Atlanta, Georgia. A proof can be found in F.M. van Lamoen, Morley related triangles on the nine-point circle, Amer. Math. Monthly, 107 (2000) 941 – 945. See also, B. Shawyer, Some remarkable concurrence, Forum Geom., 1 (2001) 69 – 74
Liên kết ngoàiSửa đổi
(tiếng Anh)
- Encyclopedia of Triangles Centers by Clark Kimberling. The nine-point center is indexed as X(5), the Feuerbach point, as X(11), the center of the Kiepert hyperbola as X(115), and the center of the Jerabek hyperbola as X(125).
- Nine Point Center by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
- History about the nine-point circle based on J.S. MacCay's article from 1892: History of the Nine Point Circle
- Nine Point Circle in Java at Cut-The-Knot
- Feuerbach's Theorem: a Proof at Cut-The-Knot
- Special lines and circles in a triangle Lưu trữ 2006-04-05 tại Wayback Machine (requires Java)
- An interactive Java applet showing several triangle centers that lies on the Nine Point Circle Lưu trữ 2016-04-04 tại Wayback Machine.
 |
Bài viết liên quan đến hình học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. |