Dấu hiệu hội tụ

Trong toán học, các dấu hiệu hội tụ (hay tiêu chuẩn hội tụ) là các phương pháp kiểm tra sự hội tụ, hội tụ có điều kiện, hội tụ tuyệt đối, khoảng hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Danh sách các dấu hiệu hội tụ

Giới hạn của các số hạng

Nếu giới hạn của dãy các số hạng của chuỗi là không xác định hoặc khác 0, tức là $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ thì chuỗi phải là phân kỳ. Theo nghĩa này, dãy các tổng riêng là Cauchy chỉ khi giới hạn này là tồn tại và bằng 0. Tuy nhiên, dấu hiệu này không chỉ ra một chuỗi có hội tụ hay không nếu thỏa mãn giới hạn của các số hạng bằng 0.

Dấu hiệu tỉ số

Dấu hiệu này còn được gọi là tiêu chuẩn d'Alembert.

Giả sử tồn tại một số $r$ sao cho

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Nếu r < 1 thì chuỗi là hội tụ tuyệt đối. Nếu r > 1 thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1 thì chưa thể kết luận, và chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ.

Dấu hiệu căn

Dấu hiệu này còn được gọi là dấu hiệu căn bậc n hay tiêu chuẩn căn Cauchy.

Đặt

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

trong đó $\limsup$ ký hiệu cho giới hạn trên (có thể là $\infty$; nếu tồn tại giới hạn nó là cùng một giá trị).

Nếu r < 1 thì chuỗi hội tụ, nếu lớn hơn thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1 thì chưa thể có kết luận từ dấu hiệu căn, và chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ.

Dấu hiệu căn là mạnh hơn dấu hiệu tỉ số: trong khi dấu hiệu tỉ số có thể xác định sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn thì dấu hiệu căn cũng xác định được, nhưng đảo lại không đúng. Ví dụ, với chuỗi

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 +... = 4,

sự hội tụ được suy ra từ dấu hiệu căn nhưng dấu hiệu tỉ số lại không kết luận được.

Tiêu chuẩn tích phân

Chuỗi có thể được so sánh với một tích phân để xét sự hội tụ hay phân kỳ. Cho $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ là một hàm số không âm và đơn điệu giảm sao cho $f(n)=a_{n}$. Nếu tích phân vô định

$$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$$

thì chuỗi hội tụ. Nhưng nếu tích phân trên là phân kỳ thì chuỗi cũng phân kỳ. Nói cách khác chuỗi ${a_{n}}$ hội tụ khi và chỉ khi tích phân hội tụ.

Dấu hiệu p-chuỗi

Một hệ quả thường được sử dụng của tiêu chuẩn tích phân là dấu hiệu p-chuỗi. Cho số $k>0$. Vậy thì chuỗi $\sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}$ hội tụ khi và chỉ khi $p>1$.

Trường hợp $p=1,k=1$ ta có chuỗi điều hòa, là một chuỗi phân kỳ. Trường hợp $p=2,k=1$ là bài toán Basel và chuỗi hội tụ đến ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$. Tổng quát, với $p>1,k=1$, chuỗi bằng hàm zeta Riemann áp dụng với $p$ tức là $\zeta (p)$.

Tiêu chuẩn so sánh trực tiếp

Nếu chuỗi $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ là một chuỗi hội tụ tuyệt đối và các số hạng $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ với n đủ lớn, thì chuỗi $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ cũng hội tụ tuyệt đối.

Tiêu chuẩn so sánh giới hạn

Nếu $\{a_{n}\},\{b_{n}\}>0$, (tức là mỗi phần tử của hai dãy là dương) và giới hạn $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ tồn tại, hữu hạn và khác 0 thì $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ phân kỳ khi và chỉ khi $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ phân kỳ.

Nói cách khác, các chuỗi trên là cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Tiêu chuẩn Cauchy nén

Cho $\left\{a_{n}\right\}$ là một dãy dương không tăng. Vậy thì tổng vô hạn $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ hội tụ khi và chỉ khi tổng $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ hội tụ. Hơn nữa, nếu chúng hội tụ thì bất đẳng thức $A\leq A^{*}\leq 2A$ được thỏa mãn.

Dấu hiệu hội tụ tuyệt đối

Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối thì đều hội tụ.

Tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi đan dấu

Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ và
• với mọi n, $a_{n+1}\leq a_{n}$.

Vậy $\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ và $\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$ là các chuỗi hội tụ. Tiêu chuẩn này còn được gọi là tiêu chuẩn Leibniz.

Dấu hiệu Abel

Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1. $\sum a_{n}$ là một chuỗi hội tụ,
2. $\left\{b_{n}\right\}$ là một dãy đơn điệu, và
3. $\left\{b_{n}\right\}$ bị chặn.

Vậy thì chuỗi $\sum a_{n}b_{n}$ cũng hội tụ.

Dấu hiệu Dirichlet

Nếu $\{a_{n}\}$ là một dãy số thực và $\{b_{n}\}$ là một dãy số phức thỏa mãn

• $a_{n}\geq a_{n+1}$

• $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

• $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ với mọi số nguyên dương N

trong đó M là một hằng số, thì chuỗi

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

hội tụ.

Dấu hiệu hội tụ Raabe–Duhamel

Cho dãy $a_{n}>0$.

Định nghĩa dãy

$b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).$

Nếu giới hạn

$L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

tồn tại thì có ba khả năng:

• nếu L > 1 thì chuỗi hội tụ
• nếu L < 1 thì chuỗi phân kỳ
• còn nếu L = 1 thì chưa thể kết luận.

Một công thức khác của dấu hiệu này như sau. Cho Σa_n là một chuỗi số thực. Vậy thì nếu b > 1 và tồn tại một số tự nhiên K sao cho

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}$

với mọi n > K thì chuỗi Σa_n hội tụ.

Dấu hiệu Bertrand

Cho { a_n } là một dãy số dương.

Định nghĩa

$b_{n}=\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).$

Nếu tồn tại giới hạn

$L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

thì có ba khả năng:

• nếu L > 1 thì chuỗi Σa_n hội tụ
• nếu L < 1 thì chuỗi Σa_n phân kỳ
• còn nếu L = 1 thì chưa thể kết luận.

Dấu hiệu Gauss

Cho { a_n } là một dãy số dương. Nếu ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O\left({\frac {1}{n^{\beta }}}\right)$ với một số β > 1, thì $\sum a_{n}$ hội tụ nếu α > 1 và phân kỳ nếu α ≤ 1.

Chú ý

Đối với một số loại chuỗi cụ thể thì có thể các dấu hiệu hội tụ chuyên biệt hơn, thí dụ đối với chuỗi Fourier có dấu hiệu Dini.

Thí dụ

Xét chuỗi

$(*)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.$

Theo tiêu chuẩn Cauchy nén, (*) hội tụ hữu hạn khi

$(**)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

cũng hội tụ hữu hạn. Bởi

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}$

(**) là một chuỗi hình học với công bội $2^{(1-\alpha )}$. (**) hội tụ hữu hạn khi công bội của nó nhỏ hơn 1 (tức là $\alpha >1$). Vì thế, (*) hội tụ hữu hạn khi và chỉ khi $\alpha >1$.

Sự hội tụ của tích

Trong khi hầu hết các dấu hiệu đề cập đến sự hội tụ của các chuỗi vô hạn, chúng cũng có thể được sử dụng để cho thấy sự hội tụ hay phân kỳ của các tích vô hạn. Điều này có được là do định lý sau: Cho $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ là một dãy số dương. Vậy thì tích vô hạn $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ hội tụ khi và chỉ khi chuỗi $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ hội tụ. Và tương tự, nếu thỏa mãn $0<a_{n}<1$, thì $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$ tiến đến một giới hạn khác 0 khi và chỉ khi chuỗi $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ hội tụ.

Có thể chứng minh điều đó bằng cách lấy logarit của tích và dùng dấu hiệu so sánh giới hạn.

Xem thêm

• Quy tắc l'Hôpital
• Quy tắc shift

Đọc thêm

• Leithold, Louis (1972). The Calculus, with Analytic Geometry (ấn bản 2). New York: Harper & Row. tr. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.

Liên kết ngoài

• Flowchart for choosing convergence test Lưu trữ 2010-08-08 tại Wayback Machine