Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Đặc trưng Euler”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 1:
Trong toán học, và đặc biệt hơn trong [[tôpô đại số]] và [[tổ hợp đa diện]], '''đặc trưng Euler''' (hoặc '''
#
Các đặc trưng Euler đã được xác định cho các khối đa diện và được sử dụng để chứng minh định lý khác nhau về chúng, bao gồm cả việc phân loại các [[chất rắn Platon]]. [[Leonhard Euler]], người mà tên được đặt cho khái niệm này, chịu trách nhiệm nhiều công việc sớm này. Trong toán học hiện đại, đặc trưng Euler phát sinh từ tương đồng và kết nối với nhiều bất biến khác.
Dòng 30:
|'''2'''
|- align=center
|[[Lục diện]]
|[[Image:hexahedron.png|50px]]
|8
Dòng 58:
|'''2'''
|}
Bề mặt của [[khối đa diện không lồi]] có thể có những đặc trưng Euler khác nhau ;
{| class="wikitable"
|-
!Tên
!Hình
!Đỉnh<BR>''V''
!Cạnh<BR>''E''
!Đặc trung Euler:<BR>''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=center
|[[Tetrahemihexahedron]]
|[[Image:Tetrahemihexahedron.png|100px]]
|6
|12
|7
|'''1'''
|- align=center
|[[Octahemioctahedron]]
|[[Image:Octahemioctahedron.png|100px]]
|12
|24
|12
|'''0'''
|- align=center
|[[Cubohemioctahedron]]
|[[Image:Cubohemioctahedron.png|100px]]
|12
|24
|10
|'''−2'''
|- align=center
|[[Great icosahedron]]
|[[Image:Great icosahedron.png|100px]]
|12
|30
|20
|'''2'''
|}
Đối với các khối đa diện thường xuyên, [[Arthur Cayley]] có nguồn gốc một hình thức sửa đổi của công thức Euler bằng cách sử dụng [[Mật độ (polytope) | Mật độ]] của đa diện'' D'', [[số đỉnh]]s <math>d_v</math> và mặt <math>d_f</math>:
:<math>d_v V - E + d_f F = 2D.</math>
Phiên bản này giữ cho cả hai khối đa diện lồi (nơi mật độ là tất cả 1), và không lồi [[đa diện Kepler-Poinsot]]:
[[khối đa diệnProjective]] tất cả đều có đặc trưng Euler 1, tương ứng với [[máy bay xạ thực]], trong khi [[hình xuyến khối đa diện]] tất cả đều có đặc trưng Euler 0, tương ứng với [[xuyến]].
=== Đồ thị phẳng ===
{{Xem thêm | phẳng đồ thị ; công thức Euler}}
Các đặc trưng Euler có thể được xác định cho kết nối [[đồ thị phẳng]] bằng cách cùng công thức <math>V - E + F</math> như cho các bề mặt đa diện, nơi'' F'' là số lượng các khuôn mặt trong đồ thị , bao gồm cả các mặt bên ngoài.
Đặc trưng Euler của bất kỳ kết nối [[đồ thị phẳng]] G là 2. Điều này có thể dễ dàng chứng minh bằng cảm ứng về số lượng các khuôn mặt được xác định bởi G, bắt đầu với một cây như trường hợp cơ sở. Đối với cây, E = V-1 và F = 1. Nếu G có thành phần C, cùng tranh luận bằng cảm ứng trên F cho thấy rằng <math>V - E + F - C = 1</math>. Một trong số ít các giấy tờ lý thuyết đồ thị của Cauchy cũng chứng minh kết quả này
=== Chứng minh công thức Euler ===
[[Image:V-E+F=2 Proof Illustration.svg|frame|right|First steps of the proof in the case of a cube]]
Có rất nhiều bằng chứng của công thức Euler. Một được đưa ra bởi [[Augustin Louis Cauchy | Cauchy]] vào năm 1811, như sau. Nó áp dụng cho bất kỳ lồi đa diện, và nói chung cho bất kỳ đa diện có ranh giới là hình học tương đương với một quả cầu và có khuôn mặt hình học tương đương với đĩa.
Loại bỏ một mặt của bề mặt đa diện. Bằng cách kéo các cạnh của khuôn mặt mất tích xa nhau, biến dạng tất cả các phần còn lại thành một đồ thị phẳng của các điểm và các đường cong, được minh họa bằng các đầu tiên của ba đồ thị cho các trường hợp đặc biệt của khối lập phương. (Giả định rằng bề mặt đa diện là đồng phôi với mặt cầu ngay từ đầu là những gì làm cho khả năng.) Sau khi biến dạng này, những gương mặt thường xuyên nói chung là không thường xuyên nữa. Số đỉnh và cạnh vẫn như cũ, nhưng số lượng các khuôn mặt đã được giảm 1. Do đó, chứng minh công thức Euler cho đa diện giảm để chứng minh <math> V - E + F = 1</math> cho này bị biến dạng, đối tượng phẳng.
Nếu có một khuôn mặt với hơn ba bên, vẽ một đường chéo-có nghĩa là, một đường cong qua mặt kết nối hai đỉnh mà chưa được kết nối. Này cho biết thêm một cạnh và một khuôn mặt và không thay đổi số đỉnh, do đó, nó không thay đổi số lượng <math> V - E + F</math>. (Giả định rằng tất cả các khuôn mặt đĩa cần thiết ở đây, để hiển thị thông qua [[định lý đường cong Jordan ]] rằng hoạt động này làm tăng số lượng các khuôn mặt từng người một.) Tiếp tục bổ sung các cạnh theo cách này cho đến khi tất cả các khuôn mặt có hình tam giác.
Áp dụng nhiều lần một trong hai biến đổi sau đây, duy trì bất biến mà ranh giới bên ngoài luôn luôn là một [[chu kỳ đơn giản]]:
# Hủy bỏ một hình tam giác với chỉ một cạnh tiếp giáp với bên ngoài, được minh họa bằng đồ thị thứ hai. Điều này làm giảm số cạnh và khuôn mặt của mỗi người và không làm thay đổi số đỉnh, vì vậy nó bảo tồn<math> V - E + F</math>.
# Hủy bỏ một hình tam giác với hai cạnh chia sẻ bởi các bên ngoài của mạng, được minh họa bằng đồ thị thứ ba. Mỗi loại bỏ tam giác loại bỏ một đỉnh, hai cạnh và một khuôn mặt, vì vậy nó bảo tồn <math> V - E + F</math>.
Những biến đổi cuối cùng giảm đồ thị hai chiều để một hình tam giác đơn. (Nếu không có sự đơn giản chu kỳ bất biến, loại bỏ một hình tam giác có thể ngắt kết nối hình tam giác còn lại, vô hiệu các phần còn lại của các đối số một để loại bỏ hợp lệ là một ví dụ cơ bản của một [[pháo kích (topology) | bắn phá.]].)
Tại thời điểm này hình tam giác đơn độc có'' V'' = 3,'' E'' = 3, và'' F'' = 1, do đó <math> V - E + F= 1</math>. Kể từ khi một trong hai bước chuyển đổi trên bảo quản số lượng này, chúng tôi đã cho thấy <math> V - E + F = 1</math> cho biến dạng, đối tượng phẳng như vậy, thể hiện <math>V - E + F = 2</math> cho đa diện. Điều này chứng minh định lý.
Để chứng minh thêm, xem [http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/ Twenty Proofs of Euler's Formula] của [[David Eppstein]]. Nhiều bằng chứng, trong đó có sai sót và hạn chế của họ, được sử dụng như ví dụ trong'' ''[[Proofs and Refutations]]'' của [[Imre Lakatos]].<ref>[[Imre Lakatos]]: [[Proofs and Refutations]], Cambridge Technology Press, 1976</ref>
| |||