Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Không gian mêtric”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
hạn chế dùng từ dễ dàng trong các giáo trình đại học Việt Nam, làm toán hay khoa học chẳng có cái gì là dễ cả, khó thí ** @@ |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 62:
'''''Chứng minh:'''''
::
::Với mỗi <math>x \in X</math> được chứa trong một tập của <math>\mathfrak{B}</math>. Dễ thấy <math>x \in B_d(x,r) , \forall \varepsilon>0</math>
::Xét điều kiện thứ 2 cho một cơ sở được thỏa,
::Lấy <math>B_1, B_2</math> là hai tập trong <math>\mathfrak{B}</math>, và giả sử <math>x \in B_1 \cap B_2</math>. Khi đó theo bổ đề '''1.2.1''', tồn tại <math> \delta_1, \delta_2 >0</math> sao cho <math>B_d(x, \delta_1) \subset B_1</math> và <math>B_d(x,\delta_2) \subset B_2</math>. Đặt <math>\delta = min\{\delta_1,\delta_2 \}</math>. Khi đó <math>x \in B_d(x,\delta) \subset B_1 \cap B_2</math> như yêu cầu.
Dòng 88:
===Không gian metric tích===
Không gian metric tích là không gian tích của tất cả các không gian metric, cụ thể:
: Cho <math>\left(X_{1},d_{1}\right),\left(X_{2},d_{2}\right),...,\left(X_{m},d_{m}\right) </math> là các không gian metric,
Cho <math>x_{1},y_{1}\in X_{1},....,x_{m},y_{m}\in X_{m}</math> .
Đặt <math> x=\left(x_{1},x_{2},...,x_{m}\right) </math> và <math>y=\left(y_{1},y_{2},...,y_{m}\right)\in X_{1}\times...\times X_{m} </math> thì
:: <math> d\left(x,y\right)=d\left(d_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),...,d_{m}\left(x_{m},y_{m}\right)\right) </math>
'''Ví dụ'''
Cho <math> \left\{ \left(\mathbb{R},d_{k}\right)\right\} _{k=\overline{1,..,n}} </math> là các không gian metric,
::<math> d\left(x,y\right)=\overset{n}{\underset{^{k=1}}{\sum}}\left[\dfrac{1}{2^{k}}\left(\dfrac{d_{k}\left(x_{k},y_{k}\right)}{1+d_{k}\left(x_{k},y_{k}\right)}\right)\right] </math>.
Kiểm tra được <math> d\left(x,y\right) </math> là metric trên <math> \mathbb{R}^{n} </math>
Dòng 105:
[[Khoảng cách Hamming]] là cái tên được đặt theo tên của [[Richard Hamming]], người giới thiệu lý thuyết này trong tài liệu có tính cơ sở của ông về mã phát hiện lỗi và sửa lỗi (error-detecting and error-correcting codes). Nó được sử dụng trong kỹ thuật viễn thông để tính số lượng các bit trong một từ nhị phân (binary word) bị đổi ngược, như một hình thức để ước tính số lỗi xảy ra trong quá trình truyền thông, và vì thế, đôi khi, nó còn được gọi là khoảng cách tín hiệu (signal distance). Việc phân tích trọng lượng Hamming của các bit còn được sử dụng trong một số ngành, bao gồm lý thuyết tin học, lý thuyết mã hóa, và mật mã học. Tuy vậy, khi so sánh các dãy ký tự có chiều dài khác nhau, hay các dãy ký tự có xu hướng không chỉ bị thay thế đi, mà còn bị ảnh hưởng bởi dữ liệu bị chèn thêm vào, hoặc bị xóa đi, phương pháp đo đạc phức tạp hơn.
Trong [[lý thuyết thông tin]], khi một thông tin được chuyển đi, ví dụ như khi
Mỗi từ có chiều dài n như vậy có thể xem như một vector có chiều dài n gồm toàn bộ các ký tự chỉ chứa những số 0 và 1.
Định nghĩa một metric giữa 2 từ trên tập này là số các vị trí mà tại đó chúng khác nhau.
Dòng 155:
Cho <math>\left(X,d\right)</math> là không gian metric, một tập con <math>A\subset X</math> gọi là chặn theo ''d'' nếu tồn tại <math>\mu>0</math> sao cho <math>d\left(x,y\right)< \mu </math>;<math>\forall</math> <math>x,y\in A</math>.
Nếu bản thân ''X'' bị chặn theo ''d'' thì
====Định nghĩa 3.1.3====
Cho <math>\left(X,d\right)</math> là không gian metric, một song ánh <math>f:\, X\rightarrow Y </math> được gọi là đẳng cấu đẳng cự (isometry) nếu <math>d_{X}\left(x,x'\right)=d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x'\right)\right)</math>, <math>\forall </math> <math>x,x'\in X</math>
Nếu <math>f:\, X\rightarrow Y</math> là một isometry thì
<ref>Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), ''Introduction to Topology: Pure and Applied'', trang 178, ISBN-10: 0131848690, Pearson.</ref>.
====Định nghĩa 3.1.4====
Cho <math>\left(X,d\right) </math> là không gian topo,
'''Ví dụ: '''
Topo này metric hóa được do:
Dòng 190:
==== Định lý 3.2.3 ====
:Cho ''d,d' '' là metric trên không gian ''X'', với <math> \tau,\tau' </math> lần lượt là các topo sinh bởi 2 metric trên. Khi đó,
'''''Chứng minh:'''''
::Xét chiều <math>\left(\Rightarrow\right)</math>. Giả sử <math>\tau'</math> mịn hơn <math>\tau</math>.
Dòng 198:
::Xét chiều <math>\left(\Leftarrow\right)</math> với mỗi <math>x\in X</math>,<math>\epsilon>0</math>, tồn tại <math>\delta>0</math> sao cho <math>B_{d'}\left(x,\delta\right)\subset B_{d}\left(x,\epsilon\right)</math>.
:::Cần chứng minh <math>\tau'</math> mịn hơn <math>\tau</math> .
:::Lấy 'U' mở trong <math>\tau</math>,
:::Lấy <math>x\in U</math> bất kỳ, do <math>U</math> mở trong <math>\tau</math> nên theo Định lý 1.3.1 thì có <math>\epsilon>0</math> sao cho <math>B_{d}\left(x,\epsilon\right)\subset U</math>
:::Giả sử có <math>\delta>0 </math> sao cho <math>B_{d'}\left(x,\delta\right)\subset B_{d}\left(x,\epsilon\right)\subset U</math>, hay <math>B_{d'}\left(x,\delta\right)\subset U</math>.
| |||