Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Số chiều Hausdorff”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n đã thêm Thể loại:Fractal dùng HotCat |
n replaced: |thumb| → |nhỏ| (2), |right| → |phải| using AWB |
||
Dòng 1:
[[Tập tin:Great Britain Hausdorff.svg|thumb|450px|Ước lượng Số chiều Hausdorff của bờ biển nước Anh]]
Trong [[toán học]], '''Số chiều Hausdorff''' (còn được biết đến như là '''Số chiều Hausdorff - Besicovitch''') là một [[số thực]] không âm [[Đường thẳng thực mở rộng|mở rộng]] (có thể có giá trị <math>\infty</math>) ứng với một [[không gian mêtric|không gian metric]] nào đó. Số chiều Hausdorff tổng quát hóa khái niệm chiều của một [[không gian vectơ]] thực. Đó là, số chiều Hausdorff của một [[không gian tích trong]] ''n''-chiều bằng ''n''. Ví dụ như số chiều Hausdorff của một điểm là không, số chiều Hausdorff của một đường thẳng là một, và số chiều Hausdorff của mặt phẳng là hai. Tuy nhiên có, rất nhiều [[phân dạng|tập kì dị]] có số chiều Hausdorff không phải là số nguyên. Khái niệm này được đưa ra vào năm 1918 bởi nhà toán học Felix Hausdorff. Nhiều sự phát triển mang tính kĩ thuật được sử dụng để tính số chiều Hausdorff cho những tập hợp có tính kì dị cao được đạt được bởi Abram Samoilovitch Besicovitch.
Việc đưa ra số chiều Hausdorff nhằm khắc phục những khuyết điểm của [[số chiều Topo]]. Chẳng hạn như số chiều Topo không thể nói lên được bất cứ điều gì về kích thước của vật. [[Đường cong phủ không gian]] là một ví dụ điển hình cho khuyết điểm này. Những đường như [[đường Peano]] hay đường [[David Hilbert|Hilbert]] có thể phủ toàn bộ hình vuông đơn vị có số chiều Topo là hai mặc dù chúng chỉ có số chiều Topo là một. Điều đó cho thấy đường Peano hay đường Hilbert "hành xử" như có số chiều Topo là hai.
[[Tập tin:Peanocurve.svg|400px|
==Độ đo Hausdorff==
Dòng 30:
<math>\sum|U_i|^t\le\delta^{t-s}\sum{|U_i|^s}.</math>
Do đó
<math>\mathcal{H}_{\delta}^{t}(F)\le\delta^{t-s}\mathcal{H}_{\delta}^{s}(F).</math> Cho <math>\delta\rightarrow 0</math>, nếu <math>\mathcal{H}^{s}(F)<\infty</math> thì <math>\mathcal{H}^{t}(F)=0</math> với mọi <math>t>s</math>. Điều đó cho thấy có một giá trị <math>s_F</math> mà tại đó <math>\mathcal{H}^{s}(F)</math> "nhảy" từ <math>\infty</math> xuống <math>0</math>. Giá trị đó được gọi là số chiều Hausdorff của <math>F</math>.
[[Tập tin:dodohausdorff.png|250px|
===Định nghĩa===
Dòng 56:
==Số chiều Hausdorff của các Fractal==
===Định nghĩa===
Một [[phân dạng|Fractal]] (phân dạng) là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy fractal có vô hạn các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra fractal bằng việc lặp lại một mẫu toán học, theo phép hồi quy.
Hình học Fractal là ngành toán học chuyên nghiên cứu các tính chất của fractal; những tính chất không dễ gì giải thích được bằng hình học thông thường. Ý niệm cơ bản của môn này là xây dựng phép đo đạc mới về kích thước của vật thể, do các phép đo thông thường của [[hình học Euclid]] và giải tích thất bại khi mô tả các fractal.
Dòng 83:
===Ví dụ===
* [[Tập Cantor]].
[[Tập tin:Cantor set in seven iterations.svg|350px|
Tập Cantor được xây dựng từ đoạn thẳng <math>D=[0,1]\subset\mathbb{R}</math> và hai phép đồng dạng <math>S_1(x)=\frac{1}{3}x,S_2=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}x</math> (tỉ số đồng dạng <math>c_1=c_2=\frac{1}{3}</math>). Điều kiện tập mở được thoả mãn với <math>V<</math> là khoảng <math>(0,1)</math>. Vậy số chiều Hausdorff <math>s</math> là nghiệm của phương trình <math>2{(\frac{1}{3})^s}=1</math>, tức <math>s=\log2/\log3</math>.
| |||