Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Giải tích thực”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
|||
Dòng 8:
=== Các định nghĩa cơ bản===
Cho một chuỗi <math> (2^n)_{n \ge 1}</math>, rõ ràng ta thu được:
<math> 2 \le 4 \le 8 \le 16 \le 32 \le ... </math>
Các số tiếp theo nhận giá trị lớn dần, lớn dần.
Giờ, cho một chuỗi có dạng như sau :
<math> ( \frac{1}{n})_{n\ge 1} </math>
Ở trường hợp này ta thấy :
<math> 1 \ge \frac{1}{2} \ge \frac{1}{3} \ge \frac{1}{4} \ge \cdots </math>
Các số tiếp theo có giá trị nhỏ dần và nhỏ dần. Giờ đây ta đặt có hỏi, phải chăng tất cả các chuỗi đều nằm ở 1 trong 2 dạng trên ? Câu trả lời là không, bởi vì, xem chuỗi sau:
<math> (\frac{10^n}{n!})_{n\ge1} </math>
Những phần từ đầu tiên có trật tự :
<math> \frac{10^1}{1} = 10 \le \frac{10^2}{2!} = 50 \le \frac{10^3}{3!} = 166.67 \le \frac{10^4}{4!} = 416.67 </math>
Như vậy ta có thể kết luận giá trị của các phần từ tăng dần. Nhưng, không hoàn toàn vậy ! Giờ thử với những giá trị khác , ta thu được :
<math> \frac{10^{10}}{10!} = \frac{10^9}{9!} </math>
<math> \frac{10^{11}}{11!} = \frac{ 10^{10}.10}{10!.11} \le \frac{ 10^{10}}{10!} </math>
Phần từ thứ 10 lớn hơn phần từ thứ 11. Như vậy, với chuỗi trên ta thu được kết quả, các phần từ lớn dần tới số thứ 10, và nhỏ dần từ sau đó.
'''Chú ý''': Để kiếm tra chuỗi <math> (x_n)_{n \ge 1} </math> là lớn dần, ta cần phải xem xét:
<math> x_1 \le x_2 \le x_3 \le \cdots </math>
Công việc này mất rất nhiều thời gian. Để rút ngắn, ta chỉ cần kiểm tra :
<math> x_n < x_{n+1} </math> với <math> n \ge 1 </math> là đủ. Đây chính là phương pháp quy nạp sử dụng rất nhiều trong các chứng minh của toán học.
'''Định nghĩa''': Cho chuỗi <math> (x_n)_{n \ge 1} </math>. Ta nói chuỗi <math> (x_n)_{n \ge 1} </math> là
* Tăng khi và chỉ khi <math> x_n < x_{n+1} </math> với mọi <math> n \ge 1 </math> , và
* Giảm khi và chỉ khi <math> x_n > x_{n+1} </math> với mọi <math> n \ge 1 </math>
Nếu chuỗi có được 1 trong hai tính chất này, ta gọi chuỗi đó là chuỗi đơn điệu.
'''Ví dụ''' : Kiếm tra tính tăng của chuỗi <math> (2^n)_{n \ge 1} </math>
'''Trả lời''' : Với <math> n \ge 1 </math> ta có : <math> 2^{n+1} = 2^n . 2 </math> . Do 2 > 1 nên <math> 1.2^n < 2.2^n </math> . Do đó :
<math> 2^n < 2^{n+1}</math>
Kết luận : Chuỗi <math> (2^n)_{n \ge 1} </math> là tăng
'''Ví dụ''': Kiểm tra tính giảm của chuỗi <math>(\frac{1}{n})_{n \ge 1} </math>
'''Trả lời''' : Với <math> n \ge 1 </math> ta có : n < n + 1 . Do vậy :
<math> \frac{1}{ n+1 } < \frac{ 1}{n} </math>
Kết luận : Chuỗi <math>(\frac{1}{n})_{n \ge 1} </math> là giảm
'''Chú ý''' :
-Trong một số trường hợp, chuỗi <math> (x_n)_{n \ge 1} </math> tăng khi và chỉ khi <math> x_n \le x_{n+1} </math> với mọi <math> n \ge 1 </math> và giảm khi và chỉ khi <math> x_n \ge x_{n+1} </math> với mọi <math> n \ ge 1 </math>. Khi đó chúng ta không nên lo ngại. Tất cả đều chỉ là quy ước tương đối.
- Trong một số chuỗi, không nhất thiết phải dữ nguyên tính đơn điệu. Ví dụ như chuỗi <math>(-1)^n_{n \ge 1 } </math>. Nó có giá trị thay đổi từ 1 và -1 .
- Có 1 cách khác để xác định chuỗi đó có đơn điệu hay không, đó là dựa vào định nghĩa của 1 hàm số. Ví dụ như cho chuỗi :
<math> (\frac{ln(n)}{n})_{n \ge 1} </math> . Khi n tăng thì ln(n) cũng tăng, dó vậy chưa thể xác định được ngay, đây là chuỗi đơn điệu hay không. Do đó ta phải xét hàm số:
<math> f(x) = \frac{ln(n)}{x} </math> với <math> x \ge 1 </math> . Và lấy đạo hàm của nó, ta thu được :
<math> f'(x) = \frac{ln'(x)x - (x)' ln(x)}{x^2} = \frac{1 - ln(x)}{x^2} </math>
Từ đây có thể thấy : f(x) < 0 khi x > e . Do n > e, với mọi <math> n \ge 3 </math>, nên chuỗi
<math> (\frac{ln(n)}{n})_{n \ge 3} </math> là giảm.
'''Định nghĩa''' : Cho chuỗi <math>(x_n)_{n \ge 1} </math>. Chúng ta nói rằng <math>(x_n)_{n \ge 1} </math> bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại 1 số T ở đó
<math> x_n \le T </math>, với mọi <math> n \ge 1 </math> . Số T được gọi là giá trị chăn trên
Ngược lại, ta nói chuỗi <math>(x_n)_{n \ge 1}</math> bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại 1 số D ở đó :
<math> x_n \ge D </math> , với mọi <math> n \ge 1 </math>. Số D được gọi là giá trị chặn dưới.
Nếu một chuỗi có cả 2 tính chất trên thì chuỗi đó được gọi là chuỗi bị chặn .
'''Ví dụ''' : Chuỗi
<math>(3^n)_{n \ge 1} </math>
bị chặn dưới 0 bởi vì nó luôn có giá trị dương.
'''Ví dụ''' : Chuỗi
<math> (\frac{1}{n})_{n \ge 1} </math>
bị chặn bởi vì với mọi <math> n \ge 1 </math> :
<math> 0 < \frac{1}{n} \le 1 </math>
Khi đó 0 là giá trị chặn dưới và 1 là giá trị chặn trên.
=== Giới hạn của một chuỗi ===
===Công thức Stirling===
| |||