Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Lũy thừa”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Bổ sung |
|||
Dòng 61:
== Lũy thừa với số mũ
=== Lũy thừa của số e ===
Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của [[logarit tự nhiên]].Số ''e'' được định nghĩa qua giới hạn sau:
:<math>e =\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac 1 n \right)^n .</math>
'''[[Hàm e mũ]]''', được định nghĩa bởi
:<math>e^x =\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac x n \right)^n ,</math>
ở đây ''x'' được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa
:<math>e^{x+y} = e^{x} \cdot e^{y} .</math>
Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của ''x''.
Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm ''e'' mũ với ''x'' là số nguyên dương ''k'' chính là ''e''<sup>''k''</sup> như sau:
:<math>(e)^k = \left(\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right)^k = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right)^k = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k}</math>
:<math> = \lim_{n \cdot k \rightarrow \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k} = \lim_{m \rightarrow \infty} \left(1+\frac k m \right)^m = e^k . </math>
Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng ''e''<sup>''x''+''y''</sup> thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi ''x'' và ''y'' là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.
== Lũy thừa với số mũ ảo ==
| |||