|
Một quá trình Poisson một chiều trên khoảng từ 0 đến ∞ (nghĩa là khi đồng hồ bắt đầu từ thời điểm 0 và là khi ta bắng đầu đếm) có thể được xem là một hàm ngẫu nhiên không giảm với giá trị [[nguyên]] ''N''(''t''), hàm này đếm số lần "xuất hiện" trước thời điểm ''t''. Cũng như mỗi biến ngẫu nhiên Poisson được đặc trưng bởi một tham số vô hướng (''scalar parameter'') λ, mỗi quá trình Poisson được đặc trưng bởi một hàm tỉ lệ λ(''t''), đó là [[giá trị kỳ vọng|kỳ vọng]] của số "lần xuất hiện" hay "biến cố" xảy ra trong mỗi đơn vị thời gian. Nếu tỉ lệ đó là hằng số, thì số ''N''(''t'') biến cố xảy ra trước thời điểm ''t'' có một [[phân bố Poisson]] với giá trị kỳ vọng λ''t''.
LetCho ''X''<sub>''t''</sub> belà thesố numberlần ofxuất arrivalshiện beforetrước timethời điểm ''t''. Let, ''T''<sub>''x''</sub> belà thethời timeđiểm ofcủa thelần xuất hiện thứ ''x''th arrival, forvới ''x'' = 1, 2, 3, ... . (WeTa aredùng usingký capitalhiệu ''X'' andlớn capitalvà ''T'' forlớn randomcho variables,các andbiến lower-casengẫu nhiên, và ''x'' andnhỏ lower-casevà ''t'' fornhỏ non-randomcho quantitiescác giá trị không ngẫu nhiên.) Biến The randomngẫu variablenhiên ''X''<sub>''t''</sub> hascó a ''discrete''một [[probabilityphân distributionbố xác suất]] ''rời rạc'' -- amột Poissonphân distributionbố Poisson -- andvà thebiến randomngẫu variablenhiên ''T''<sub>''x''</sub> hascó amột phân bố xác suất ''continuousliên tục'' probability distribution.
ClearlyRõ theràng, numbersố oflần arrivalsxuất beforehiện timetrước thời điểm ''t'' is lessnhỏ thanhơn ''x'' ifkhi andvà onlychỉ ifkhi thethời waitinggian timeđợi untilcho theđến lần xuất hiện thứ ''x''th arrival is morelớn thanhơn ''t''. Bằng Inký symbolshiệu, thebiến eventcố [ ''X''<sub>''t''</sub> < ''x'' ] occursxảy ifra andkhi onlyvà ifchỉ thekhi eventbiến cố [ ''T''<sub>''x''</sub> > ''t'' ]. ConsequentlyVậy, xác suất thecủa probabilitiescác ofbiến thesecố eventsnày arelà thebằng samenhau:
:<math>P(X_t<x)=P(T_x>t).</math>
Thực tế này cộng với kiến thức về phân bố Poisson cho phép ta tìm phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên liên tục này. Trong trường hợp tỷ lệ, nghĩa là kỳ vọng của số lần xuất hiện trong mỗi đơn vị thời gian, là hằng số, công việc này khá đơn giản. Cụ thể, xét thời gian đợi cho tới lần xuất hiện thứ nhất. Dễ thấy, thời gian đó lớn hơn ''t'' khi và chỉ khi số lần xuất hiện trước thời điểm ''t'' là bằng 0. Nếu tỷ lệ là λ lần xuất hiện trong mỗi đơn vị thời gian, ta có
This fact plus knowledge of the Poisson distribution enables us to find the probability distribution of these continuous random variables. In case the rate, i.e., the expected number of arrivals per unit time, remains constant, this is fairly simple. In particular, consider the waiting time until the first arrival. Clearly that time is more than ''t'' if and only if the number of arrivals before time ''t'' is a 0. If the rate is λ arrivals per unit time, then we have
:<math>P(T_1>t)=P(X_t=0)=e^{-\lambda t}.</math>
Do đó, thời gian đợi cho đến lần xuất hiện đầu tiên tuân theo một [[phân phối mũ]]. Phân phối mũ này có giá trị kỳ vọng 1/λ. Nói cách khác, nếu tỷ lệ bình quân của các lần xuất hiện là 6 lần mỗi phút chẳng hạn, thì thời gian đợi trung bình tới khi có lần xuất hiện đầu tiên là 1/6 phút. Phân phối mũ [[không có khả năng nhớ]], nghĩa là ta có:
Consequently, the waiting time until the first arrival has an [[exponential distribution]]. This exponential distribution has expected value 1/λ. In other words, if the average rate of arrivals is, for example 6 per minute, then the average waiting time until the first arrival is (unsurprisingly) 1/6 minute. This exponential distribution is [[memorylessness|memoryless]], i.e. we have
:<math>P(T_1>t+s \mid T_1>t)=P(T_1>s).</math>
ThisCông saysthức thattrên thecó nghĩa là [[conditionalxác probabilitysuất có điều kiện]] thatcho weviệc need"ta tophải wait,đợi forlần example,xuất morehiện thanđầu anothertiên 10thêm secondsnhiều beforehơn, thechẳng hạn, 10 firstgiây arrivalnữa, givenbiết thatrằng theta firstđã arrivalđợi has30 notgiây yetrồi happenedmà afterchưa 30được" seconds,không iskhác novới differentxác fromsuất thecủa initialviệc probability"ta thatvừa wemới needbắt tođầu waitđợi morevà thanta 10phải secondsđợi forthêm theít firstnhất arrival10 giây nữa". ThisSinh isviên oftenhọc misunderstoodmôn byxác studentsxuất takingthường coursesgặp onphải probability:nhầm lẫn đó. theThực facttế thatrằng P(''T''<sub>1</sub> > 40 | ''T''<sub>1</sub> > 30) = P(''T''<sub>1</sub> > 10) doeskhông ''not''có nghĩa meanrằng thatcác thebiến eventscố ''T''<sub>1</sub> > 40 and ''T''<sub>1</sub> > 30 arelà independentđộc lập. ToTóm summarize:lại, "memorylessness"tính ofchất thekhông probabilitybộ distributionnhớ ofcủa thephân waitingbố timexác suất của thời gian chờ đợi ''T''<sub>1</sub> untilcho đến lần xuất hiện tiếp thetheo firstcó arrivalnghĩa meanslà
:<math>\mathrm{(Right)}\ P(T_1>40 \mid T_1>30)=P(T_1>10).</math>
Nó ''không'' có nghĩa là
It does ''not'' mean
:<math>\mathrm{(Wrong)}\ P(T_1>40 \mid T_1>30)=P(T_1>40).</math>
(Công thức trên có nghĩa ''độc lập''. Nhưng hai biến cố này ''không'' độc lập)
(That would be independence. These two events are ''not'' independent.)
==Đặc điểm của các quá trình Poisson==
| 