|
== Đại số Lie của đạo hàm của vành giao hoán trong đặc số 2'''<nowiki/>''' ==
cách 1:
Giả sử cho <math>R</math> là vành giao hoán và kết hợp có đơn vị và <math>\mbox{Der}(R)</math> là vành Lie các hàm khả vi trên ''R. ''Cho <math>D</math> là vành Lie con của <math>\mbox{Der}(R)</math> cùng với <math>R</math>-modulo. Khi ''R'' là ''D''-thanh, ta sẽ có được điều kiện cần và đủ cho ''D'' để là Lie thanh. Vành ''R'' này có đặc số khác 2.
ta sẽ chứng minh :
<nowiki>*</nowiki>tích của 2 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8<nowiki> </nowiki>: gọi số chẵn thứ nhất là 2n ( n là số nguyên dương) thì số chẵn liền theo là 2n + 2 , tích của chúng là 2n.(2n + 2) = 2n.2(n +1) = 4.n(n + 1), Trong tích n(n+1) có 1 số chia hết cho 2 vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 4.2 = 8 (1)
<nowiki>*</nowiki>trong tích n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) nếu n chia hết 5 thì tích chia hết 5, nếu n chia 5 dư 1 thì (n + 4) chia hết 5, nếu n chia 5 dư 2 thì (n + 3) chia hết 5 ,nếu n chia 5 dư 3 thì (n + 2) chia hết 5, nếu n chia 5 dư 4 thì (n + 1) chia hết 5 => tích n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) chia hết 5 (2)
<nowiki>*</nowiki> trong tích n(n+1)(n+2) nếu n chia hết 3 thì tích chia hết 3, nếu n chia 3 dư 1 thì (n + 2) chia hết 3, nếu n chia 3 dư 2 thì (n + 1) chia hết 3 => n(n+1)(n+2) chia hết 3 => n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) chia hết cho 3 (3)
<nowiki>*</nowiki>ƯCLN(8;5;3) = 1 (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) => n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) chia hết cho 8.5.3 = 120
cách 2: quy nạp toán học P(n) = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
với n = 1 ta có n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 1.2.3.4.5 =120 chia hết cho 120 dúng
giả sử đúng với n = k nghĩa là k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) chia hết cho 120
ta sẽ chứng minh đúng với n = k + 1 thật vậy với n = k + 1 ta có
P(k+1) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5) = k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)5
k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) chia hết cho 5 vì với n = k đúng
tích (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) chứa 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết 8 và trong tích có 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết 3, tích có thừa số 5 vậy tích chia hết 8.3.5=120
=> P(k+1) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5) chia hết cho 120 (đpcm)'''<nowiki/>'''
| 