Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Công thức Brahmagupta”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
nKhông có tóm lược sửa đổi |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 9:
|}
==Chứng minh==
[[Tập tin:ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់.png|nhỏ|phải]]
Diện tích tứ giác cần tìm bằng tổng diện tích hai tam giác ''ADB'' và ''BDC'':
:<math>S=\frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin C</math>.
Nhưng do ''ABCD'' là tứ giác nội tiếp nên hai góc ''A'' và ''C'' [[Góc bù nhau|bù nhau]] (hai góc có tổng bằng 180°), suy ra <math>\sin A=\sin C</math>. Vậy:
:<math>S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sin A</math>
:<math>S^2=\frac{1}{4}(ab+cd)^2\sin^2 A</math>
:<math>4S^2=(ab+cd)^2(1-\cos^2 A)</math>
:<math>4S^2=(ab+cd)^2-(ab+cd)^2\cos^2 A</math>.
Sử dụng [[định lý cos]] cho hai tam giác ''ADB'' và ''BDC'' với cạnh ''DB'' chung:
:<math>a^2+b^2-2ab\cos A=c^2+d^2-2cd\cos C</math>.
Thay <math>\cos C=-\cos A</math> (do hai góc ''A'' và ''C'' bù nhau):
:<math>2(ab+cd)\cos A=a^2+b^2-c^2-d^2</math>.
Thay vào công thức bên trên, ta có:
:<math>16S^2=4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2</math>
:<math>=\left[2(ab+cd)+a^2+b^2-c^2-d^2\right]\left[2(ab+cd)-a^2-b^2+c^2+d^2\right]</math>
:<math>=\left[(a+b)^2-(c-d)^2\right]\left[(c+d)^2-(a-b)^2\right]</math>
:<math>= (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d).</math>
Thay <math>a+b+c+d=2p</math>, thu được:
:<math>16S^2=(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)(2p-2d)</math>,
hay
:<math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math>.
== Các nội dung liên quan, hệ quả ==
*[[Công thức Heron]] tính diện tích [[tam giác]] có thể được suy ra từ công thức Brahmagupta nếu xem một cạnh của tứ giác, chẳng hạn, ''d'', bằng 0 (tam giác được xem là một trường hợp đặc biệt của tứ giác nội tiếp khi một cạnh của tứ giác nội tiếp bằng không).
Hàng 25 ⟶ 66:
==Tham khảo==
{{Tham khảo}}
*{{mathworld|urlname=BrahmaguptasFormula|title=Brahmagupta's Formula}}
| |||