Số p-adic

Số p-adic và hình học Diophantine

Số p-adic

Nhà toán học người Đức Kurt Hensel sử dụng một ý tưởng tương tự như khi ta xét các hàm số trên một đường cong áp dụng vào lí thuyết số để xây dựng nên số p-adic. Trước hết ta hãy định nghĩa số p-adic bằng một chuỗi vô hạn hình thức có dạng:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}p^{n}$

với p là một số nguyên cho trước và các hệ số của chuỗi trên a_i thỏa mãn 0 ≤ a_i < p. Tổng quát hơn, ta có thể xét chuỗi vô hạn hình thức có dạng:

$\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}p^{n}$

với mọi m ∈ Z và giá trị của các hệ số a_i nằm trong tập hợp {0,1,2,...,p-1}. Một chuỗi vô hạn hình thức có dạng như vậy được gọi là số p-adic. Cho a là một số hữu tỉ bất kì, ta luôn có thể viết $\textstyle a={\frac {b}{c}}\times p^{-m}$, b,c là các số nguyên sao cho tích của chúng không có ước chung với p, i.e. (bc,p) = 1. Mặt khác số hữu tỉ có dạng b/c sao cho p không chia hết cho c nàm trong cái gọi là địa phương hóa tại ideal nguyên tố (p) của vành Z và luôn biểu diễn dưới dạng chuỗi p-adic là một số nguyên p-adic nên ta có thể tương ứng a với một chuỗi có dạng:

$a_{0}p^{-m}+a_{1}p^{-m+1}+...+a_{m}+a_{m+1}p+...\ .$.

Do đó tồn tại một phép nhúng từ Q vào Q_p $(\mathbb {Q} \hookrightarrow \mathbb {Q} _{p}).$ Trước hết ta có thể quan sát số nguyên p-adic thông qua đại số sơ cấp. Ta có một hệ ngược:

$\mathbb {Z} /p\leftarrow \mathbb {Z} /p^{2}\leftarrow \mathbb {Z} /p^{3}\leftarrow ...,$

trong đó các ánh xạ đơn giản là phép chiếu chính tắc, cụ thể hơn ta có thể viết:

$\mathbb {Z} /p^{n+1}\twoheadrightarrow (\mathbb {Z} /p^{n+1})/p^{n}(\mathbb {Z} /p^{n+1})\cong \mathbb {Z} /p^{n}.$

Nếu ta lấy giới hạn xạ ảnh của hệ trên, tức là tập con của $\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /p^{n}$ bao gồm các dãy a_n với n ∈ N sao cho dãy đó là ảnh dưới phép chiếu chính tắc của a_n-1. Bây giờ nếu có một số nguyên p-adic $\textstyle a=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}p^{i},$ ta có thể tương ứng với một dãy các phần tử thặng dư $(\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i}){\mbox{ mod }}p^{n},$ tức là một phần tử thuộc Z/pⁿ, bằng cách đó ta có thể đồng nhất các số nguyên p-adic với giới hạn xạ ảnh trên, i.e.:

$\textstyle \mathbb {Z} _{p}\simeq \varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}.$

Hình học Diophantine

Chẳng hạn ta có 1 phương trình đa thức $f(x_{1},\cdots ,x_{n})=0$ với f là một đa thức với hệ số nguyên. Liệu phương trình trên có tồn tại nghiệm nguyên. Câu hỏi này hẳn tất các chúng ta từng học từ thời phổ thông trong bài toán giải phương trình tìm nghiệm nguyên. Hiển nhiên đây là một câu hỏi hóc búa, không có lời giải tổng quát, tuy nhiên bằng định lý thặng dư Trung Hoa cổ, ta có thể giản ước độ khó của câu hỏi bằng cách quy về xét đồng dư thức:

$f(x_{1},...,x_{n})\equiv 0{\mbox{ mod }}p^{i}$

giải được với i tùy ý nếu và chỉ nếu phương trình đó có thể giải được trong Z_p. Đây chính là vấn đề trọng yếu. Hình dung rằng, phương trình của một đa thức sau khi thuần nhất hóa thì không gì khác hơn là một siêu mặt $X=\{f=0\}\subset \mathbb {P} ^{n}$ trong một không gian xạ ảnh. Hình học đại số cho phép ta nói tới một cấu xạ (proper) thực và phẳng ${\mathfrak {X}}\rightarrow {\mbox{Spec}}(\mathbb {Z} _{p})$, người ta thường gọi là mẫu của X. Nếu cấu xạ này trơn (ví dụ nếu ta xét 1 lược đồ trơn xạ ảnh X trên trường hữu hạn $k=\mathbb {F} _{p}$ và có 1 phép nâng lên vành Witt ${\mathfrak {X}}\to {\mbox{Spec}}(W(k))={\mbox{Spec}}(\mathbb {Z} _{p})$), vậy thì bổ đề Hensel nói với ta rằng mỗi nghiệm của phương trình thặng dư sẽ được nâng lên thành 1 nghiệm của phương trình với hệ số trên Q_p, nhưng do cấu xạ là thực, mỗi nghiệm này sẽ là 1 nghiệm trong Z_p. Nói cách khác hình học đại số trừu tượng là công cụ hiện đại không thể thiếu để phát biểu và nghiên cứu các bài toán Diophantine sơ cấp. Bài sau chúng ta sẽ thăm quan khía cạnh giải tích của số p-adic, tức là trường số p-adic là 1 trường topo, điều này cũng ảnh hưởng lớn lao đến việc tìm nghiệm nguyên, nói theo ngôn ngữ hiện đại là tìm điểm hữu tỷ. Các bạn sẽ thấy do trường p-adic có thể trang bị topo, dẫn tới 1 nguyên tắc là nếu 1 tập mở Zariski U $\subset$ X có điểm hữu tỷ thì X có điểm hữu tỷ (đúng cho mọi trường), và ngược lại (không đúng hoàn toàn, ví dụ cho Q), đó là lý do khi nghiên cứu điểm hữu tỷ trên n.