Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Định lý Morley về góc chia ba”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 3:
''Định lý Morley'' là một định lý thu hút được sự quan tâm của nghiều người nghiên cứu [[hình học tam giác]] không chỉ bởi vẻ đẹp kì lạ của nó mà còn vì tam giác Morley không thể dựng được chỉ bằng thước thẳng và compa.
==Chứng minh==
Có rất nhiều chúng minh cho định lý Morley với các kỹ thuật chứng minh khác nhau.<ref>{{citation|url=http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml|title=Morley's Miracle|publisher=[[Cut-the-knot]]|last=Bogomolny|first=Alexander|accessdate=2010-01-02}}</ref> Cách chứng minh trước đây dựa trên các biến đổi [[lượng giác]]. Chứng minh hình học đầu tiên đưa ra bởi[[M. T. Naraniengar]] năm 1909.<ref>{{harvtxt|Coxeter|1967}}.</ref> Một chứng minh gần đây bởi [[đại số]] bởi nhà toán học {{harvs|first=Alain|last=Connes|authorlink=Alain Connes|txt|year=1988|year2=2004}} định lý còn được mở rộng với một [[trường toán học|trường]], và nhà toán học [[John Horton Conway|John Conway]] đưa ra một chứng minh sơ cấp.<ref>[http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/conway.shtml J. Conway's proof], from Bogomolny.</ref><ref>{{citation|url=http://www.cs.toronto.edu/~mackay/conway.pdf|title=Power|editor1-last=Blackwell|editor1-first=Alan|editor2-last=Mackay|editor2-first=David|editor2-link=David J. C. MacKay|year=2006|chapter=The Power of Mathematics|last=Conway|first=John|author-link=John Horton Conway|publisher=Cambridge University Press|accessdate=2010-10-08|pages=36–50|isbn=978-0-521-82377-7}}</ref>. Định lý Morley không đúng trong hình [[học không gian không gian]] và [[hình học hyperbol]] [[spherical geometry|spherical]]<ref>[http://lienhard-wimmer.com/applets/dreieck/Morley.html Morley's Theorem in Spherical Geometry], [[Java applet]].</ref>.
[[File:Morley Proof.svg|thumb|right|480px|Fig 1. Elementary proof of Morley's trisector theorem]]
Sau đây là một chứng minh sử dụng [[lượng giác]]
:sin 3θ ≡ 4 sin θ sin(60°+θ) sin(120°+θ).
Điểm ''D'',''E'',''F'' được dựng trên cạnh ''BC'' như hình vẽ. Ta thấy α+β+γ = 60° do đó ∠CYA = 120°+β và góc của tam giác Δ''XEF'' là α, 60°+β, 60°+γ. Ta lại có sin(60°+β) = ''DX/XE'' và ''AC''/sin(120°+β) = ''AY''/sin γ theo [[định lý sin]] do đó được cao ''h'' của tam giác Δ''ABC'' đưa ra bởi
:''h'' = ''AB'' sin 3β = 4''AB.AC.DX'' sin β sin γ / (''XE.AY'')
:  = ''AC'' sin 3γ = 4''AC.AB.DX'' sin γ sin β / (''XF.AZ'').
Do đó ''XE.AY'' = ''XF.AZ'' tuơng đuơng với ''XE/XF'' = ''AZ/AY''. Mặt khác ∠EXF = ∠ZAY do đó hai tam giác ''XEF'' và ''AZY'' là đồng dạng. Do đó các góc đáy của Δ''AZY'' là 60°+β và 60°+γ. Xác định một cách tương tự đối với các góc đáy của hai tam giác Δ''BXZ'' and Δ''CYX'' từ đó dễ dàng xác định được ba góc của tam giác ''XYZ'' là 60°.
==Độ dài các cạnh và diện tích tam giác Morley==
Độ dài của cạnh của tam giác Morley thứ nhất như sau: <ref>Weisstein, Eric W. "First Morley Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [http://mathworld.wolfram.com/FirstMorleyTriangle.html]</ref>
:<math>a^{'}=b^{'}=c^{'}=8R\sin(A/3)\sin(B/3)\sin(C/3), \, </math>
Trong đó ''R'' làm [[bán kính đường tròn ngoại tiếp]] của tam giác ''ABC'', và ''A, B,'' và ''C'' là các góc của tam giác ABC. Do diện tích của một [[tam giác đều]] tính theo công thức <math>\tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2</math> (trong đó a là độ dài cạnh tam giác), từ đó diện tích tam giác Morley là:
:<math>\text{Area} = 16 \sqrt{3}R^2\sin^2(A/3)\sin^2(B/3)\sin^2(C/3).</math>
==Xem thêm==
* [[Định lý Napoleon]]
| |||