Tọa độ tỉ cự

Trong hình học afin, hệ tọa Barycentric là một hệ tọa độ trong đó vị trí của một điểm trong một đa diện, được xác định là một trọng tâm hay tâm tỉ cự. Tọa độ cũng được mở rộng bên ngoài đa diện, nơi có một hoặc nhiều tọa độ có giá trị âm. Khái niệm này được giới thiệu bởi August Ferdinand Mobius (1827, xem apprendre-math.info/vietnamien/historyDetail.htm?id=Mobius).

Định nghĩa

Cho $x_{1},...,x_{n}$ là một hệ điểm trên một đa diện của không gian afin A. Nếu một điểm p thuộc A,

$p\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$

và tối thiểu một của $a_{1},...,a_{n}$ không bị triệt tiêu nên ta nói rằng dãy các hệ số $a_{i}$ là một tọa độ barycentric của p có mối quan hệ với dãy $x_{1},...,x_{n}.$ Bản thân các đỉnh của chúng có tọa độ $x_{1}=(1,0,0,...,0),x_{2}=(0,1,0,...,0),x_{n}=(0,0,...,1).$ Các tọa barycentric không phải là duy nhất: với mọi b khác 0, $ba_{1},...ba_{n}$ cũng là tọa độ barycentric của p. Nếu tọa độ không âm, p nằm trong bao lồi của $x_{1},...,x_{n}$, vậy trong một đa diện, điểm của nó được xem như là một đỉnh. Theo như định nghĩa tọa độ barycentric, tọa độ này được biểu diễn dưới dạng tọa độ đồng nhất. Đôi khi giá trị của tọa độ bị hạn chế bởi một điều kiện

$\sum a_{i}=1$

làm cho các tọa độ đó là duy nhất, cho nên chúng là tọa độ afin.

Tọa độ barycentric trên một tam giác

Các tọa độ barycentric $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ trên một tam giác đều.

Về một trường hợp của một tam giác, tọa độ barycentric có thể được nói với tên gọi khác là tọa độ của một bề mặt, vì tọa độ của P liên hệ đến các tam giác PBC, PCA và PAB trong tam giác lớn nhất ABC. Tọa độ barycentric là một công cụ rất quan trọng trong các ứng dụng kỹ thuật liên quan đến tam giác bao gồm miền con của tam giác. Nó cho thấy việc phân tích và tính toán một bài toán trở nên dễ dàng và các bảng tứ phương Gauss được trình bày trong đó có các tọa độ barycentric. Xét một tam giác $T$ cấu thành bởi 3 đỉnh r₁, r₂ và r₃. Với mỗi điểm đó ta có thể viết một tổ hợp lồi của 3 điểm. Nói cách khác, với mỗi điểm r ta có thứ tự duy nhất các số $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ vậy nên $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ và

$r=\lambda _{1}r_{1}+\lambda _{2}r_{2}+\lambda _{3}r_{3}.$

3 số $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ chỉ ra rằng tọa độ của điểm r liên hệ với tam giác. Nó có thể được kí hiệu dưới dạng $\alpha ,\beta ,\gamma .$ Chú ý rằng mặc dù nó có 3 tọa độ nhưng nó chỉ có 2 "mức độ tự do", từ khi $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1.$

Chuyển đổi giữa tọa độ barycentric và tọa độ Cartesian

Tồn tại điểm r của một tam giác có thể tìm được tọa độ barycentric $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ từ tọa độ Cartesian $(x,y)$ và ngược lại. Ta có thể viết tọa độ Cartesian của điểm r bằng các thành phần Cartesian của một hệ điểm tam giác $r_{1},r_{2},r_{3}$ với $r_{i}=(x_{i},y_{i})$, về tọa độ r thì ta có

$x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}x_{3}$

$y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}x_{3}.$

Để đổi ngược lại, từ tọa độ Cartesian vào tọa độ barycentric, đầu tiên thế $\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}$ vào hai biểu thức trên để ta có được

$x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}$

$y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}$

Chuyển vế đổi dấu ta được

$\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x=0$

$\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-y_{3})+y_{3}-y=0$

Biến đổi tuyến tính có thể viết gọn là

${\overrightarrow {T}}\cdot {\overrightarrow {\lambda }}={\vec {r}}-{\vec {r}}_{3}$

với ${\vec {\lambda }}$ là vector có tọa độ barycentric, r là vector có tọa độ Cartesian và ${\overrightarrow {T}}$ là ma trận được cho bởi

$\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\\\end{matrix}}\right)$

${\overrightarrow {T}}$ khả nghịch khi ${\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{3}$ và ${\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{3}$ độc lập tuyến tính (nếu đây không phải là trường hợp, ${\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3}$ có thể là song tuyến tính và không cấu thành tam giác). Thật vậy, ta có thể thế số trên vào phương trình để

$\left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)={\overrightarrow {T}}^{-1}({\overrightarrow {r}}-{\overrightarrow {r}}_{3})\,$

Quá trình đi tìm tọa barycentric không khác gì đi tìm ma trận khả nghịch của ${\overrightarrow {T}},$ khá dễ dàng trong trường hợp ma trận 2×2. Rõ ràng ta thấy các công thức tính tọa độ barycentric của điểm r về tọa độ Cartesian của chúng (x,y) và về tọa độ Cartesian của hệ điểm trong tam giác sẽ có là

$\lambda _{1}={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(T)}}={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\,,$

với $\mathbf {R} =\left({\begin{matrix}\mathbf {r} _{1}|\mathbf {r} _{2}|\mathbf {r} _{3}\end{matrix}}\right)$

$\lambda _{2}={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(T)}}={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\,,$

$\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\,.$

Một cách khác để chuyển đổi từ tọa độ Cartesian sang tọa độ barycentric để viết lại biểu thức dưới dạng ma trận

${\vec {r}}={\vec {R}}{\vec {\lambda }}$

với ${\overrightarrow {R}}=\left({\begin{matrix}{\vec {r}}_{1}|{\vec {r}}_{2}|{\vec {r}}_{3}\end{matrix}}\right)$ và

${\vec {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top }.$

Và điều kiện $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ ghi chú $\left(1,1,1\right){\vec {\lambda }}=1$ và tọa độ barycentric có thể được giải quyết như các giải pháp của các hệ tuyến tính

$\left({\begin{matrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\vec {\lambda }}=\left({\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right)$

Chuyển đổi giữa tọa độ barycentric và tọa độ tam tuyến tính

Một điểm có tọa độ tam tuyến tính x:y:z có tọa độ barycentric ax:by:cz với a, b và c là các độ dài phụ của tam giác nào đó. Nhưng ngược lại, một điểm có tọa độ barycentric α:β:γ sẽ có tọa độ tam tuyến tính α/a:β/b:γ/c.

Ví dụ

Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác ABC có tọa độ barycentric

$a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):\;b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2}):\;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\,$

$=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C,$

với a, b và c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của một tam giác. Trực tâm của tam giác cũng tương tự

$\tan A:\tan B:\tan C.$

Incenter cũng có

$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C.$

Tâm cửu-điểm cũng có

$a\cos(B-C):b\cos(C-A):c\cos(A-B)$

$=a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}.$

Tọa độ trên một tứ diện

Ở đây biểu thức lại được biểu diễn dưới dạng biến đổi tuyến tính (nhưng khác ở chỗ là chúng ta đang xét trên một tứ diện trong $\mathbb {R} ^{3}$ nên nó có 4 điểm - thì sẽ có 4 thành phần số trong tọa độ

$\left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)={\overrightarrow {T}}^{-1}({\overrightarrow {r}}-{\overrightarrow {r}}_{4})\,$

trong đó ${\overrightarrow {T}}$ là một ma trận cấp 3×3:

$\mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{4}&y_{2}-y_{4}&y_{3}-y_{4}\\z_{1}-z_{4}&z_{2}-z_{4}&z_{3}-z_{4}\end{matrix}}\right).$