Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Phương trình truyền nhiệt”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n Alphama Tool, General fixes |
n clean up, replaced: {{Commonscat → {{thể loại Commons using AWB |
||
Dòng 1:
'''Phương trình nhiệt''' là một [[phương trình vi phân riêng phần|phương trình đạo hàm riêng]] miêu tả sự biến thiên của nhiệt độ trên một miền cho trước qua thời gian.
==Miêu tả==
Giả sử ta có một hàm số ''u'' miêu tả nhiệt độ tại bất kì vị trí ''(x, y, z)'' nào đó. Hàm số này sẽ thay đổi theo thời gian khi nhiệt truyền đi ra khắp không gian. Phương trình nhiệt được sử dụng để xác định sự thay đổi của hàm số ''u'' theo thời gian.
Một trong những tính chất của phương trình nhiệt là [[định luật maximum]] nói rằng giá trị lớn nhất của ''u'' hoặc là ở thời gian trước đó hoặc là ở cạnh biên của miền đang xét. Điều này đại khái nói rằng nhiệt độ hoặc nhiệt độ đến từ một nguồn nào đó hoặc là từ thời gian trước đó chứ không được tạo ra từ không có gì cả. Đây là một tính chất của [[phương trình vi phân parabolic]] và không khó chứng minh.
Một tính chất khác nữa là ngay cả nếu như ''u'' không liên tục tại thời gian khởi đầu ''t'' = ''t''<sub>0</sub>, thì nhiệt độ sẽ ngay lập tức trơn ngay tức khắc sau đó cho các giá trị ''t'' > ''t''<sub>0</sub>. Chẳng hạn, nếu một thanh kim loại có nhiệt độ 0 và một thanh khác có nhiệt độ 100 và được gắn với nhau đầu này với đầu kia, thì ngay lập tức nhiệt độ tại điểm nối là 50 và đồ thị của nhiệt độ chạy trơn từ 0 đến 100. Về mặt vật lý điều này là không thể được, vì như vậy là thông tin được truyền đi với vận tốc vô hạn, sẽ phá vỡ luật [[nhân quả (vật lý)|nhân quả]]. Đây là một tính chất của phương trình nhiệt hơn là bản thân của sự truyền nhiệt. Tuy nhiên, cho nhiều mục đích thực tế, sự khác nhau là có thể bỏ qua.
Dòng 12:
==Bài toán vật lý và phương trình==
[[Tập tin:
Trong trường hợp đặc biệt khi nhiệt truyền đi trong một vật liệu [[wiktionary:đẳng hướng|đẳng hướng]] và [[wiktionary:đồng nhất|đồng nhất]] trong không gian 3-[[chiều]], phương trình này là
: <math>{\partial u\over \partial t} =
Dòng 29:
*<math>u_{xx}\,\!</math>, <math>u_{yy}\,\!</math>, and <math>u_{zz}\,\!</math> là [[đạo hàm và vi phân của hàm số|đạo hàm]] bậc 2 (''lưu chuyển nhiệt'') của nhiệt độ theo hướng ''x'', ''y'', và ''z'', theo thứ tự.
*''k'' là một hệ số phụ thuộc vào vật liệu phụ thuộc vào ''[[độ dẫn nhiệt]]'', ''[[mật độ]]'' và ''[[dung tích nhiệt]]''.
Phương trình nhiệt là hệ quả của [[dẫn nhiệt#Định luật Fourier|định luật Fourier]] cho [[dẫn nhiệt]].
Dòng 42:
:<math>u_t = k \Delta u, \quad \,\!</math>
với toán tử Laplace được lấy theo biến không gian.
Phương trình nhiệt miêu tả sự tiêu tán nhiệt, cũng như nhiều quá trình tiêu tán khác, như là [[tiêu tán hạt]] hoặc là sự lan truyền của [[thế năng phản ứng]] trong tế bào thần kinh. Mặc dù không có bản chất tiêu tán, một số bài toán trong cơ học lượng tử cũng được miêu tả bằng một phương trình tương tự như là phương trình nhiệt. Nó cũng có thể được sử dụng để mô phỏng các hiện tượng xảy ra trong [[tài chính]], như là [[Black-Scholes]] hay là các [[quá trình Ornstein-Uhlenbeck]]. Phương trình này, và các phương trình phi tuyến tương tự khác, được sử dụng trong phân tích ảnh.
Phương trình nhiệt, về mặt kỹ thuật, là vi phạm [[thuyết tương đối hẹp]], bởi vì nghiệm của nó đã lan truyền nhiễu loạn đi tức khắc.
== Giải phương trình nhiệt bằng [[chuỗi Fourier]] ==
[[Tập tin:
Kỹ thuật tìm nghiệm của phương trình sau đây đã được đưa ra bởi [[Joseph Fourier]] trong luận văn ''Théorie analytique de la chaleur'' của ông, xuất bản năm [[1822]]. Giả sử chúng ta xét phương trình nhiệt trong không gian 1 chiều. Phương trình này có thể dùng để miêu tả sự lan truyền nhiệt trong một thanh dài. Phương trình được viết dưới dạng
Dòng 55:
với ''u'' = ''u''(''t'', ''x'') là một hàm số của 2 biến ''t'' và ''x''. Ở đây
*''x'' là biến không gian, do vậy ''x'' ∈ [0,''L''], với ''L'' là chiều dài của thanh.
* ''t'' là biến thời gian, do đó ''t'' ≥ 0.
Chúng ta giả sử điều kiện ban đầu là
:<math>(2) \ u(0,x) = f(x) \quad \forall x \in [0,L] \quad </math>
với hàm số ''f'' được cho trước và các điều kiện biên là
Dòng 69:
:<math> (4) \ u(t,x) = X(x) T(t). \quad</math>
Kỹ thuật tìm nghiệm này được gọi là [[phương pháp tách biến]]. Thay thế ''u'' vào phương trình (1),
:<math>\frac{T'(t)}{kT(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}. \quad </math>
Dòng 85:
<ol>
<li>
Giả sử rằng λ < 0. Sẽ có 2 số thực ''B'', ''C'' sao cho
:<math>X(x) = B e^{\sqrt{-\lambda} \, x} + C e^{-\sqrt{-\lambda} \, x}.</math>
Từ (3) chúng ta có
:<math>X(0) = 0 = X(L). \quad </math>
và do đó ''B'' = 0 = ''C'' dẫn đến ''u'' hoàn toàn bằng 0.
Dòng 97:
<li>
Giả sử λ = 0. Sẽ có các số thực ''B'', ''C'' sao cho
:<math>X(x) = Bx + C. \quad </math>
Từ phương trình (3) ta kết luận cũng giống như trường hợp 1 là ''u'' bằng 0 mọi nơi.
Dòng 108:
:<math>T(t) = A e^{-\lambda k t} \quad </math>
và
:<math>X(x) = B \sin(\sqrt{\lambda} \, x) + C \cos(\sqrt{\lambda} \, x).</math>
Từ (3) ta có ''C'' = 0 và do đó với một số tự nhiên dương ''n'',
:<math>\sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}.</math>
Dòng 116:
</ol>
Nghiệm này giải phương trình nhiệt trong trường hợp đặc biệt khi sự phụ thuộc vào ''u'' có dạng đặc biệt (4).
Một cách tổng quát, tổng các lời giải của (1) thỏa mãn điều kiện biên (3) cũng thỏa mãn (1) và (3). Ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của (1), (2) và (3) có dạng
:<math>u(t,x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} D_n \left(\sin \frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\frac{n^2 \pi^2 kt}{L^2}}</math>
với
Dòng 144:
* [http://www.mathphysics.com/pde/HEderiv.html Derivation of the heat equation]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/heat-toc.pdf Linear heat equations]: Particular solutions and boundary value problems - from EqWorld
{{
[[Thể loại:Phương trình vi phân riêng]]
|