Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Công thức Euler”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n đánh vần, replaced: qui tắc → quy tắc |
n typog |
||
Dòng 3:
Cụ thể, với mọi số thực x, ta có:
:<math> e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) \ </math>
Ở đây ''[[số e|e]]'' là [[cơ số]] [[logarit tự nhiên]], ''[[đơn vị ảo|i]]'' là đơn vị của [[số phức]],:<math> \sin x \ </math> và:<math> \cos x \ </math> là các [[hàm lượng giác|hàm số lượng giác]].
Khai triển từ công thức trên, các hàm số:<math> \cos x \ </math> và:<math> \sin x \ </math> có thể được viết dưới dạng sau:
:<math> \cos(x) = (1/2)(e^{ix} + e^{-ix}) \ </math>
:<math> \sin(x) = (1/2i)(e^{ix} - e^{-ix}) \ </math>
Trường hợp đặc biệt: khi:<math> x = \pi \ </math>, ta có:<math> e^{i \pi} = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1 \ </math>, từ đó dẫn đến công thức rút gọn nổi tiếng:
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0 \ </math>
Dòng 25:
: <math>i^4=1 \,</math>
: <math>i^5=i \,</math>
:: <math>\vdots</math>
Các hàm ''e''<sup>''x''</sup>, cos(''x'') và sin(''x'') (với giả sử ''x'' là [[số thực]]) có thể được viết như sau:
Hàng 52 ⟶ 51:
=== Bằng cách sử dụng phép tính vi tích phân ===
Xét hàm số <math>f </math> xác định bởi:
<math>f(x)=\frac{e^{ix}}{
Ta sẽ chứng minh rằng <math> \cos {x}+i\sin {x} \, </math> khác 0 với mọi ''x''
Hàng 68 ⟶ 67:
Bây giờ cho:<math>y=0 \ </math> ta thấy:<math>f(0)=1 \ </math>; do đó:<math>f(x)=1 \forall x </math>
vậy <math>e^{ix} = \cos
=== Bằng cách sử dụng phương trình vi phân thường ===
| |||