Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Giả lồi”

không có tóm lược sửa đổi
(Sửa lại định nghĩa.)
Không có tóm lược sửa đổi
Trong toán học, cụ thể là trong lý thuyết hàm số nhiều biến số phức, các tập giả lồi là các tập mở trong không gian phức ''n'' chiều '''C'''<sup>''n''</sup> có tính chất đặc biệt, liên quan đến tính mở rộng các hàm chỉnh hình nhiều biến phức. Cho một miền ''G'' của '''C'''<sup>''n''</sup>, tức là một tập mở và liên thông. Miền ''G'' được gọi là giả lồi nếu tồn tại một hàm số đa điều hòa dưới và liên tục liên tục ''u'' trên ''G'' sao cho các tập mức
:<math>\left\{z\in G\ |\ u(z)<c\right\}</math>
là tập [[compact]] tương đối của ''G'', với mọi số thực ''c''. Nói cách khác, một miền ''G'' là giả lồi nếu nó có một hàm số đa điều hòa dưới "vét cạn" liên tục. Hàm số vét cạn ''u'' có thể lấy là hàm <math>u(z)=-\log dist(z,\partial G)</math>. Mọi tập lồi là tập giả lồi.
 
Miền giả lồi được dùng để miêu tả các miền chỉnh hình như sau: "Một miền trong '''C'''<sup>''n''</sup> là miền chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó là miền giả lồi." Đây chính là lời giải của bài toán Levi.
 
Mọi tập lồi có thể giả lồi. Giả lồi [[Levi]] còn được gọi đơn giản là giả lồi.
Khi ''G'' có mộtbiên tậpkhả vi lớp ''C''&sup2; làm biên. Một cách đặc biệt, với biên ''C''&sup2; có thể chỉ ra rằng ''G'' có một hàm số định nghĩa, i.e.tức là, tồn tại một hàm <math>\rho:\mathbb{C}^n\to\mathbb{R}</math>, khả vi lớp ''C''&sup2; sao cho nên <math>G=\left\{\rho<0\right\}</math> và <math>\partial G=\left\{\rho=0\right\}.</math> Bây giờ, ''G'' là giả lồi Levi nếu và chỉ nếu với mỗi ''p'' &isin; ∂''G'' và ''w'' thuộc không gian phức tiếp tuyến phức:
:<math> \nabla \rho(p) w = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \rho (p)}{ \partial z_j }w_j =0 </math> ta sẽ có
:<math>\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 \rho(p)}{\partial z_i \partial \bar{z_j} } w_i \bar{w_j} \geq 0.</math>
Nếu ''G'' không có biên ''C''&sup2; thì dữđiều kiện sẽxấp trởxỉ nênsau dễ hiểuthể hơnhữu ích.
 
'''Mệnh đề 1:''' ''Nếu G giả lồi, thì sẽtồn có biên,tại các miềntập bị chặn, giả lồi [[Levi]] mạnh <math>G_k\subset G</math> với biêntrơn lớp <math>C^\infty</math> ([[mịn]]) là compact tương đối trong G, thậtsao vậycho''
:<math>G=\bigcup_{i=1}^\infty G_k.</math>
Nó đúng vì một khi ''φ'' theo như định nghĩa giả lồi ta có thể thực sự tìm được hàm "vét cạn" củalớp <math>C^\infty.</math>
 
==Trường hợp ''n'' = 1==
Trên đường thẳng phức '''C'''&sup1;, mọi tập mở đều giả lồi. Khái niệm giả lồi thường được sử dụng trong không gian phức có số chiều (hiển nhiên là nguyên dương) lớn hơn 1.
==Xem thêm==
* [[Bao lồi đồng luân]]
8

lần sửa đổi