Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Ma trận Pauli”

Ba cổng Pauli, gọi là [[w:cổng Pauli X|cổng Pauli X]], ứng với toán tử <math>\hat{\sigma_x}</math>, [[w:cổng Pauli Y|cổng Pauli Y]], ứng với toán tử <math>\hat{\sigma_y}</math>, và [[w:cổng Pauli Z|cổng Pauli Z]], ứng với toán tử <math>\hat{\sigma_z}</math>. Các ma trận biểu diễn cổng Pauli có kích thước {{math|2 × 2}}, có tính chất Hermitian và unitary.

:<math>X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math>

Toán tử Hermitian đại diện cho quan sát, vì vậy các ma trận Pauli mở rộng không gian quan sát Hilbert phức 2 chiều. Và {{math|''σ''_k}} đại diện cho các quan sát tương ứng để quay dọc theo trục k trong không gian ba chiều Euclide {{math|ℝ³}}.

 

Các ma trận Pauli (sau khi nhân với {{mvar|i}} - đơn vị ảo, trở thành [[skew-Hermitian|anti-Hermitian]]), sẽ tạo ra các biến đổi của đại số Lie: các ma trận {{math|''iσ''₁, ''iσ''₂, ''iσ''₃}} tạo thành một hệ cơ sở cho [[SU(2)#n = 2|SU(2)]]. Đại số học được tạo ra bởi ba ma trận {{math|''σ''₁, ''σ''₂, ''σ''₃}} là đẳng cấu với đại số Clifford của {{math|ℝ³}}, và được gọi là đại số của không gian vật lý. Ta có thể biểu diễn như sau:

 

\end{align}</math>

 

Cổng Pauli X còn được gọi là cổng NOT. Cổng này có ý nghĩa là tạo ra trang thái "ngược" với trạng thái |0> hoặc |1> đầu vào, tương đương với việc quay trạng thái qubit trên [[w:mặt cầu Bloch|mặt cầu Bloch]] sang điểm đối diện với nó trên mặt cầu.

:<math>X |0\rangle = \mbox{NOT} |0\rangle = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = |1\rangle</math>