Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Định lý Ceva”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Đã lùi về phiên bản 23539195 bởi 123.16.197.100 (thảo luận). (TW) |
|||
Dòng 1:
[[Tập tin:Ceva's theorem 1.svg|thumb|300px|phải|Định lí Ceva]]
'''Định lí Ceva''' là một định lí phổ biến trong [[hình học]] cơ bản.Cho một [[tam giác]] ''ABC'', các [[điểm]] ''D'', ''E'', và ''F'' lần lượt nằm trên các [[đường thẳng]] ''BC'', ''CA'', và ''AB''. [[Định lí]] phát biểu rằng các [[đường thẳng]] ''AD'', ''BE'' và ''CF'' là những [[đường thẳng]] [[đồng qui]] khi và chỉ khi:
:<math>\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} \cdot \frac{\overline{DB}}{\overline{DC}} \cdot \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} = 1</math>
Hàng 7 ⟶ 6:
<math>\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}\times\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF}\times\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE}=1</math>.
Một đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác gọi là '''đường thẳng Cevian''' ứng với đỉnh đó.Một trong hình vẽ tam giác <math>DEF</math> là một '''tam giác Cevian''' của tam giác ABC.▼
▲Một đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác gọi là '''đường thẳng Cevian''' ứng với đỉnh đó.
== Chứng minh định lí ==
Giả sử ta có: <math>AD</math>, <math>BE</math> và <math>CF</math> đồng qui tại một điểm <math>O</math> nào đó (trong hay ngoài tam giác). Do <math>\triangle BOD</math> và <math>\triangle COD</math> có chung chiều cao (độ dài của đường cao), ta có: <math>\frac{|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}=\frac{BD}{DC}.</math> Tương tự, <math>\frac{|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}=\frac{BD}{DC}.</math>
\frac{|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}
=\frac{|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}.</math> Tương tự,<math>\frac{CE}{EA}=\frac{|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|},</math> và<math>\frac{AF}{FB}=\frac{|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}.</
<center><math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1,</math></center>▼
Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm <math>D</math>, <math>E</math> và <math>F</math> thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của <math>AD</math> và <math>BE</math> là <math>O</math>, và gọi giao điểm của <math>CO</math> và <math>AB</math> là <math>F'</math>. Theo chứng minh trên,▼
▲
▲Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm <math>D</math>, <math>E</math> và <math>F</math> thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của <math>AD</math> và <math>BE</math> là <math>O</math>, và gọi giao điểm của <math>CO</math> và <math>AB</math> là <math>F'</math>. Theo chứng minh trên, <math>\frac{AF'}{F'B} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.</math>
Thêm 1 vào mỗi vế và chú ý rằng <
Do đó <math>F''B=FB</math>, vậy <math>F</math> và <math>F''</math> trùng nhau. Vì vậy <math>AD</math>, <math>BE</math> và <math>CF</math>=<math>CF''</math> đồng qui tại <math>O</math>, và định lí đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều).
| |||