|
[[Tập tin:999 Perspective.svg|300px|right]]
Trong [[toán học]], số [[thập phân tuần hoàn]] '''0,999...''' hay còn được viết <math>\mbox{0.,}\bar{9} ,; \mbox{0,}\dot{9}</math> hoặc <math> \mbox{0,(9)}\,\!</math> là một [[số thực]] bằng [[1 (số)|1]]. Nói cách khác: kí hiệu ''0,999...'' và ''1'' đều thể hiệu cùng một số thực. Điều này đã được nhiều giáo sư toán học trên thế giới công nhận và được giảng dạy trong nhiều [[sách giáo khoa]]<ref>{{cite book |author=Alligood, Sauer, and Yorke |year=1996 |title= Giới thiệu về hệ thống thập phân |chapter=4.1 Cantor Sets |publisher=Springer |isbn=0-387-94677-2}}</ref><ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |year=1974 |title=Giải tích toán học|edition=2e |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-00288-4}}</ref><ref>{{cite book |author=Bartle, R.G. and D.R. Sherbert |year=1982 |title=Giới thiệu giải tích toán học|publisher=Wiley |isbn=0-471-05944-7}}</ref><ref>{{cite book |last=Beals |first=Richard |title=Giải tích |year=2004 |publisher=Cambridge UP |isbn=0-521-60047-2}}</ref>. Nhiều cách [[chứng minh (toán học)|chứng minh]] khác nhau đã được trình bày, dựa vào nhiều phép tính toán trên các số thực, các kiến thức được thừa nhận và mục tiêu của người đọc. Trong thực tế, số thực có thực có thể được đại diện bởi một dãy số thập phân vô hạn và sự thực này mới nhìn giống như một nghịch lý. Điều này có thể tránh được với nhiều hệ thống số hay cách biểu diễn số khác như ''vi phân'': một đại lượng biến thiên nhỏ vô cùng luôn chạy về 0 nhưng không bao giờ bằng 0, số ''p-adic''.
== Chứng minh ==
|<math>
\begin{align}
\mbox{0.,333}\dots &{} = \frac{1}{3} \\
3 \times \mbox{0.,333}\dots &{} = 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\
\mbox{0.,999}\dots &{} = 1
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\mbox{0.,111}\dots & {} = \frac{1}{9} \\
9 \times \mbox{0.,111}\dots & {} = 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\
\mbox{0.,999}\dots & {} = 1
\end{align}
</math>
Một phiên bản rút gọn khác:
:<math>
1 = \frac{9}{9} = 9 \times \frac{1}{9} = 9 \times \mbox{0.,111}\dots = \mbox{0.,999}\dots
</math>
Cả hai phép chứng minh đều cho thấy giá trị của 0,999... phải bằng 1. Đơn giản hơn, ta có <sup>3</sup>/<sub>3</sup> = 1, và <sup>3</sup>/<sub>3</sup> = 0.,999…. Do đó, 0.,999… phải bằng 1.
==== Biến đổi số học ====
:<math>
\begin{align}
x &= \mbox{0.,999}\ldots \\
10 x &= 9.\mbox{0,999}\ldots \\
10 x - x &= 9.\mbox{0,999}\ldots - \mbox{0.,999}\ldots \\
9 x &= 9 \\
x &= 1 \\
\mbox{0.,999}\ldots &= 1
\end{align}
</math>
| 