Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Quy nạp toán học”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 14:
Việc ''n'' = 0 hay ''n'' = 1 phụ thuộc vào định nghĩa của [[số tự nhiên]]. Nếu 0 được coi là một số tự nhiên, bước cơ sở được đưa ra bởi ''n'' = 0. Nếu, mặt khác, 1 được xem như là số tự nhiên đầu tiên, bước hợp cơ sở được đưa ra với '' n '' = 1.
== Ví dụ ==
Quy nạp toán học có thể được sử dụng để chứng minh rằng mệnh đề ''P(n)'' sau, đúng với tất cả số tự nhiên ''n''.
:<math>0 + 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\,.</math>
P(n) đưa ra một công thức cho tổng các [[số tự nhiên]] nhỏ hơn hoặc bằng số n. Cách chứng minh P(n) đúng với mỗi số tự nhiên ''n'' như sau.
'''Bước cơ sở''': Chứng minh rằng mệnh đề đúng với ''n'' = 0. <br>
Ta có ''P''(0) bằng:
:<math>0 = \frac{0\cdot(0 + 1)}{2}\,.</math>
Ở vế trái của phương trình, số duy nhất là 0, và do đó, phía bên tay trái là chỉ đơn giản là bằng 0. <br>
Vế phải của phương trình, 0·(0 + 1)/2 = 0. <br>
Hai vế bằng nhau, nên mệnh đề đúng với ''n''=0. Vì vậy ''P''(0) là đúng.
'''Bước quy nạp''': Chứng minh rằng ''nếu'' ''P'' ( '' k '') đúng, {{nowrap|''P''(''k''+1)}} cũng đúng. Điều này có thể được thực hiện như sau.
Giả sử ''P''(''k'') đúng (với một số nhá trị ''k''). Sau đó phải chứng minh rằng {{nowrap|''P''(''k'' + 1)}} cũng đúng:
:<math>(0 + 1 + 2 + \cdots + k )+ (k+1) = \frac{(k+1)((k+1) + 1)}{2}.</math>
Sử dụng giả thuyết quy nạp rằng ''P''(''k'') đúng, vế trái có thể viết thành:
:<math>\frac{k(k + 1)}{2} + (k+1)\,.</math>
Có thể biến đổi như sau:
: <math>
\begin{align}
\frac{k(k + 1)}{2} + (k+1) & = \frac {k(k+1)+2(k+1)} 2 \\
& = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \\
& = \frac{(k+1)((k+1) + 1)}{2}
\end{align}
</math>
Vì vậy {{nowrap|''P''(''k'' + 1)}} cũng đúng.
Vì cả bước cơ sở và bước quy nạp đã được thực hiện, mệnh đề ''P''(''n'') đúng với mọi số tự nhiên ''n''
==Xem thêm==
| |||