Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Phương sai”

[[Phương pháp Delta]] sử dụng [[khai triển Taylor]] bậc hai để xấp xỉ phương sai của hàm số của một hay nhiều biến ngẫu nhiên. Ví dụ, phương sai của hàm số theo một biến ngẫu nhiên được xấp xỉ bởi:

Trên nhiều tình huống thực tế, giá trị chính xác của phương sai của một tổng thể, kíký hiệu bởi <math>\sigma^2</math> là không thể xác định trước được.

Phương pháp chung để [[ước lượng]] phương sai của một tổng thể (hữu hạn hoặc vô hạn) là ta sẽ lấy một mẫu hữu hạn các cá thể từ quần thể. Giả sử rằng mẫu thu được có các giá trị đo được là <math>x_1,\dots,x_N</math>.

trong đó <math>\overline{x}</math> là [[số bình quân số học]] của mẫu.

Tuy nhiên, <math>\hat{\sigma^2}</math> là một [[ước lượng chệch]] (''biased'') của phương sai quần thể. Ước lượng sau là một ước lượng không chệch (''unbiased'') của phương sai quần thể:

Phần sau đây chứng minh <math>s^2</math> là một ước lượng không chệch của phương sai quần thể. Một ước lượng <math>\hat{\theta}</math> của tham số <math>\theta</math> được gọi là ước lượng không chệch nếu <math>\operatorname{E}\{ \hat{\theta}\} = \theta</math>.

KíKý hiệu <math>\mu</math> và <math>\sigma^2</math> lần lượt là trung bình và phương sai của quần thể. Để chứng minh <math>s^2</math> là ước lượng không chệch, ta sẽ chứng minh rằng <math>\operatorname{E}\{ s^2\} = \sigma^2</math>. Ta có:

= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left\{ \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu)^2 \right\}

- 2 \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu) (\overline{x} - \mu) \right\}

với μ = E(''X'') và ''X''^T là [[ma trận chuyển vị]] của ''X''. Phương sai này là một ma trận vuông [[ma trận xác định dương|xác định dương]]. Nó thường được gọi là [[ma trận hiệp phương sai]].