Wikipedia

Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Phương trình bậc hai”

Duyệt lịch sử tương tác
← Thay đổi trướcThay đổi sau →
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Trực quanMã wiki
nKhông có tóm lược sửa đổi
Zasawa (thảo luận | đóng góp)
1.183 sửa đổi
Không có tóm lược sửa đổi
Dòng 2:
Trong [[đại số sơ cấp]], '''phương trình bậc hai''' là phương trình có dạng:
:<math>ax^2+bx+c=0</math>
với {{math|''x''}} là ẩn số chưa biết và {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} là các số đã biết sao cho {{math|''a''}} khác 0≠0. Nếu {{math|''a'' {{=}} 0}} thì phương trình sẽ chuyển về dạng [[phươngPhương trình bậctuyến nhấttính|bậc nhất]], không còn là bậc hai. Các số {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, và {{math|''c''}} là những ''[[hệ số]]'' của [[phương trình]] và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng ''hệ số bậc hai'', ''hệ số bậc một'', và ''[[hằng số]]'' hay ''số hạng tự do''.<ref>Protters & Morrey: " Calculus and Analytic Geometry. First Course"</ref>
 
Vì phương trình bậc hai chỉ có một1 ẩn nên nó được gọi là phương trình "[[đơn biến]]". Phương trình bậc hai chỉ chứa [[lũy thừa]] của {{math|''x''}} là các số tự nhiên, bởi vậy chúng là một dạng [[phương trình đại số|phương trình đa thức]], cụ thể là [[bậc của đa thức|phương trình đa thức bậc hai]] do bậc cao nhất là hai2.
 
Các cách giải phương trình bậc hai phổ biến là [[phân tích nhân tử|nhân tử hóa]] (phân tích thành nhân tử), phương pháp [[phần bù bình phương]], sử dụng [[công thức bậc hai|công thức nghiệm]], hoặc [[đồ thị hàm số|đồ thị]]. Giải pháp cho các vấn đề tương tự phương trình bậc hai đã được con người biết đến từ năm 2000 trước Công Nguyên.
Dòng 11:
[[File:Quadratic equation coefficients.png|thumb|right|300px|Hình 1. Đồ thị của hàm số bậc hai {{nowrap|''y'' {{=}} ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} với mỗi hệ số biến đổi trong khi các hệ số khác giữ nguyên tại giá trị ''a''&nbsp;=&nbsp;1, ''b''&nbsp;=&nbsp;0, ''c''&nbsp;=&nbsp;0. Ví dụ, đồ thị bên phải là của hàm số {{nowrap|''y'' {{=}} ''ax''<sup>2</sup>}} (b {{=}} c {{=}} 0 không đổi) ứng với các giá trị a thay đổi là −4/3, −1/2, 0, 1/3, và 3/2 (màu sắc tương ứng); tương tự đồ thị ở giữa là của hàm số {{nowrap|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''bx''}} và đồ thị bên trái là của hàm số {{nowrap|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> + c}}.]]
 
Một phươngPhương trình bậc hai với các [[hệ số]] [[số thực|thực]] hoặc [[số phức|phức]] có hai đáp số, gọi là các ''nghiệm''. Hai nghiệm này có thế phân biệt hoặc không, và có thể là thực hoặc không.
 
===Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra===
Phương trình bậc hai {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} có thể viết được thành {{math|(''px'' + ''q'')(''rx'' + ''s'') {{=}} 0}}. Trong một vài trường hợp, điều này có thể thực hiện bằng một bước xem xét đơn giản để xác định các giá trị ''p'', ''q'', ''r,'' và ''s'' sao cho phù hợp với phương trình đầu. Sau khi đã viết được thành dạng này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nếu {{math|''px'' + ''q'' {{=}} 0}} hoặc {{math|''rx'' + ''s'' {{=}} 0}}. Giải hai phương trình bậc nhất này ta sẽ tìm ra được nghiệm.
 
Với hầu hết [[học sinh]], phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra là phương pháp giải phương trình bậc hai đầu tiên mà họ được tiếp cận.<ref name=Washington2000>{{cite book|last=Washington|first=Allyn J.|title=Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition|year=2000|publisher=Addison Wesley Longman, Inc.|isbn=0-201-35666-X}}</ref>{{rp|202&ndash;207}} Nếu phương trình bậc hai ở dạng {{math|''x''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} (''a'' {{=}} {{math|1}}) thì có thể tìm cách phân tích vế trái thành {{math|(''x'' + ''q'')(''x'' + ''s'')}}, trong đó ''q'' và ''s'' có tổng là ''b'' và tích là ''c'' (đây đôi khi được gọi là "quy tắc Viet"<ref>{{citation|title=Numbers|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=123|first1=Heinz-Dieter|last1=Ebbinghaus|first2=John H.|last2=Ewing|publisher=Springer|year=1991|isbn=9780387974972|page=77|url=http://books.google.com/books?id=OKcKowxXwKkC&pg=PA77}}.</ref>) Ví dụ, {{math|''x''<sup>2</sup> + 5''x'' + 6}} viết thành {{math|(''x'' + 3)(''x'' + 2)}}. Trường hợp tổng quát hơn khi {{math|''a''}} {{math|≠}} {{math|1}} đòi hỏi nỗ lực lớn hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra; giả định rằng hoàn toàn có thể làm được như vậy.
 
Trừ những trường hợp đặc biệt như khi {{math|''b'' {{=}} 0}} hay {{math|''c'' {{=}} 0}}, phân tích bằng kiểm tra chỉ thực hiện được đối với những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này có nghĩa là đa phần các phương trình bậc hai phát sinh trong ứng dụng thực tiễn không thể giải được bằng phương pháp này.<ref name=Washington2000/>{{rp|207}}
Dòng 23:
{{Main|Phần bù bình phương}}
[[File:Polynomialdeg2.svg|thumb|right|300px|Hình 2. Đồ thị [[hàm số bậc hai]] {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> &minus; ''x'' &minus; 2}}. Các hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành {{math|''x'' {{=}} −1}} và {{math|''x'' {{=}} 2}} là nghiệm của phương trình bậc hai {{math|''x''<sup>2</sup> &minus; ''x'' &minus; 2 {{=}} 0}}.]]
Trong quá trình hoàn thành bình phương ta sử dụng [[Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ|hằng đẳng thức]]:
:<math>x^2+2hx+h^2 = (x+h)^2,</math>
một [[thuật toán]] rạch ròi có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.<ref name=Washington2000/>{{rp|207}} Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}}
Dòng 34:
 
Tiếp theo là ví dụ minh họa việc sử dụng thuật toán này. Giải phương trình {{math|2''x''<sup>2</sup> + 4''x'' &minus; 4 {{=}} 0}}
:<math>1)\Leftrightarrow \ x^2+2x-2=0</math>
:<math>2)\Leftrightarrow \ x^2+2x=2</math>
:<math>3)\Leftrightarrow \ x^2+2x+1=2+1</math>
:<math>4) \Leftrightarrow \left(x+1 \right)^2=3</math>
:<math>5)\Leftrightarrow \ x+1=\pm\sqrt{3}</math>
:<math>6)\Leftrightarrow \ x=-1\pm\sqrt{3}</math>
 
[[Dấu cộng-trừ|Dấu cộng-trừ "±"]] biểu thị rằng cả {{math|''x'' {{=}} &minus;1 + &radic;3}} và {{math|''x'' {{=}} &minus;1 &minus; &radic;3}} đều là nghiệm của phương trình.<ref>{{Citation|last=Sterling|first=Mary Jane|title=Algebra I For Dummies|year=2010|publisher=Wiley Publishing|isbn=978-0-470-55964-2|url=http://books.google.com/?id=2toggaqJMzEC&pg=PA219&dq=quadratic+formula#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false|page=219}}</ref>
Dòng 86:
*Nếu Δ dương (Δ > {{math|0}}), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
::<math>\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{và}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a},</math>
::cả hai đều là nghiệm thực. Đối với những phương trình bậc hai có hệ số [[số hữu tỉ|hữu tỉ]], nếu Δ là một [[số chính phương]] thì nghiệm là hữu tỉ; còn với những trường hợp khác chúng có thể là các [[số vô tỉ]].
 
*Nếu Δ {{=}} {{math|0}}, phương trình có một nghiệm [[số thực|thực]]:
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/wiki/Phương_trình_bậc_hai”