|
Các ma trận biến đổi không phải luôn luôn khả nghịch, nhưng thường là có một lời giải thích bằng trực giác. Trong mục trước, hầu hết các phép biến đổi đều khả nghịch. Phép biến đổi tỉ lệ là khả nghịch miễn là <math>s_x</math> hoặc <math>s_y</math> khác không (điều này có thể hiểu được dễ dàng khi chúng ta phá hủy thông tin bằng cách bỏ đi một chiều nếu như môt trong hai hệ số bằng 0). Cũng vậy, phép chiếu vuông góc không bao giờ khả nghịch.
==Các loại biến đổi khác==
==Other kinds of transformations==
===AffinePhép transformationsbiến đổi affine===
ToĐể representbiểu diễn một biến đổi [[affine transformation]]sbởi withma matricestrận, wechúng ta mustphải usesử dụng[[homogeneoustọa coordinatesđộ đồng nhất]]. Điều Thisnày meanscó representingnghĩa alà biểu diễn một vectơ 2-vector chiều (''x'', ''y'') asnhư alà một vectơ 3-vectorchiều (''x'', ''y'', 1), andvà similarlytương fortự highernhư dimensionsvậy cho các chiều cao hơn. Sử Usingdụng thishệ systemthống này, phép xê dịch (''translation'') cancó bethể expressedđược withdiễn matrixtả multiplicationbởi phép nhân ma trận. Dạng Thehàm functionalsố form <math>x' = x + t_x</math>; <math>y' = y + t_y</math> becomestrở thành:
:<math>
</math>
Tất cả các phép biến đổi tuyến tính thông thường có thể được chuyển đổi thành phép biến đổi affine bằng cách mở rộng ma trận biểu diễn thêm 1 hàng và 1 cột, làm đầy khoảng thêm vào bằng 0 ngoại trừ góc dưới bên phải, phải được đặt bằng 1. Ví dụ, ma trận của phép xoay bên trên sẽ trở thành:
All ordinary linear transformations can be converted into affine transformations by expanding their matrices by one row and column, filling the extra space with zeros except for the lower-right corner, which must be set to 1. For example, the rotation matrix from above becomes:
:<math>\begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math>
Sử dụng hệ thống này, phép xê dịch có thể trộn lẫn với các loại biến đổi khác, sử dụng phép nhân ma trận như là trước đây. (Điều này xảy ra là do mặt phẳng thực đã được ánh xạ vào mặt phẳng ''w'' = 1 trong không gian chiếu (''projective space''), và do vậy xê dịch trong không gian thực có thể được biểu diễn bởi một phép trượt trong không gia chiếu ''projective space''.)
Using this system, translations can be seamlessly intermixed with all other types of transformations, using the same matrix multiplication as before. (This works because the real plane is mapped to the ''w'' = 1 plane in real projective space, and so translation in real space can be represented as a shear in real projective space.)
Khi sử dụng các biến đổi affine, phần đồng nhất của vectơ tọa độ (thường gọi là ''w'') sẽ không bao giờ thay đổi. Người ta thường giả sử một cách an toàn là nó bằng 1. Tuy vậy, điều này là không đúng khi sử dụng phép chiếu theo tia nhìn (''perspective projection'').
When using affine transformations, the homogeneous component of a coordinate vector (normally called ''w'') will never be altered. One can therefore safely assume that it is always 1 and ignore it. However, this is not true when using perspective projections.
===Phép chiếu theo tia nhìn===
===(''Perspective projection==='')
Một loại biến đổi khác, khá quan trọng trong đồ họa máy tính trong 3 chiều, là [[phép chiếu theo tia nhìn]]. Trong khi những phép chiếu song song được sử dụng để chiếu các điểm vào một mặt phẳng chứa ảnh dọc theo các đường song song, phép chiếu theo tia nhìn chiếu các điểm vào mặt phẳng chứa ánh theo các đường thẳng phát ra từ một điểm, gọi là trung tâm của phép chiếu.
Another type of transformation, of importance in [[3D computer graphics]], is the [[perspective projection]]. Whereas parallel projections are used to project points onto the image plane along parallel lines, the perspective projection projects points onto the image plane along lines that emanate from a single point, called the center of projection. This means that an object has a smaller projection when it is far away from the center of projection and a larger projection when it is closer.
Điều này nghĩa là một vật sẽ có hình chiếu nhỏ hơn khi nó nằm xa trung tâm của phép chiếu và có ảnh lớn hơn khi nó gần trung tâm của phép chiếu hơn.
ThePhép simplestchiếu perspectivetheo projectiontia usesnhìn thesử origindụng asgốc thetọa centerđộ ofnhư projectionlà trung tâm của phép chiếu, andvà ''z'' = 1 asnhư thelà imagemặt planephẳng chứa ảnh. TheDạng functionalhàm formsố ofcủa thisphép transformationbiến isđổi thennày là <math>x' = x / z</math>; <math>y' = y / z</math>. WeChúng ta có thể biểu candiễn expresstrong thistọa inđộ homogeneousđồng coordinatesnhất asbởi:
:<math>
</math>
(TheKết resultquả ofsau carryingkhi outtiến thishành multiplicationphép isnhân thatnày là <math>(x_c, y_c, z_c, w_c)</math> = <math>(x, y, z, z)</math>.)
AfterSau carryingkhi outtiến thehành matrixphép multiplicationnhân ma trận, thephần tử homogeneousđồng componentnhất ''w<sub>c</sub>'' willsẽ, innhìn generalchung, notlà bekhông equal tobằng 1. Do Thereforevậy, tođể mapđưa backvề intolại themặt realphẳng planethực wechúng mustta performphải thelàm homogeneousmột dividephép chia đồng nhất, i.e.nghĩa là chia dividemỗi eachthành componentphần bybởi ''w<sub>c</sub>'':
:<math>
</math>
Các phép chiếu theo tia nhìn phức tạp hơn có thể được tạo thành bằng cách bao gồm phép này với phép xoay, tỉ lệ, xê dịch, và trượt để di chuyển mặt phẳng chứa ảnh và trung tâm của phép chiếu đến bất cứ nơi nào mà chúng cần thiết.
More complicated perspective projections can be composed by combining this one with rotations, scales, translations, and shears to move the image plane and center of projection wherever they are desired.
[[Category:Đồ họa máy tính]]
| 