Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Quá trình Poisson”

Rõ ràng, số lần xuất hiện trước thời điểm ''t'' nhỏ hơn ''x'' khi và chỉ khi thời gian đợi cho đến lần xuất hiện thứ ''x'' lớn hơn ''t''. Bằng ký hiệu, biến cố [ ''X''_''t'' < ''x'' ] xảy ra khi và chỉ khi biến cố [ ''T''_''x'' > ''t'' ]. Vậy, xác suất của các biến cố này là bằng nhau:

 

 

Thực tế này cộng với kiến thức về phân bố Poisson cho phép ta tìm phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên liên tục này. Trong trường hợp tỷ lệ, nghĩa là kỳ vọng của số lần xuất hiện trong mỗi đơn vị thời gian, là hằng số, công việc này khá đơn giản. Cụ thể, xét thời gian đợi cho tới lần xuất hiện thứ nhất. Dễ thấy, thời gian đó lớn hơn ''t'' khi và chỉ khi số lần xuất hiện trước thời điểm ''t'' là bằng 0. Nếu tỷ lệ là &lambda; lần xuất hiện trong mỗi đơn vị thời gian, ta có

 

 

Do đó, thời gian đợi cho đến lần xuất hiện đầu tiên tuân theo một [[phân phối mũ]]. Phân phối mũ này có giá trị kỳ vọng 1/&lambda;. Nói cách khác, nếu tỷ lệ bình quân của các lần xuất hiện là 6 lần mỗi phút chẳng hạn, thì thời gian đợi trung bình tới khi có lần xuất hiện đầu tiên là 1/6 phút. Phân phối mũ [[không có khả năng nhớ]], nghĩa là ta có:

 

 

Công thức trên có nghĩa là [[xác suất có điều kiện]] cho việc "ta phải đợi lần xuất hiện đầu tiên thêm nhiều hơn, chẳng hạn, 10 giây nữa, biết rằng ta đã đợi 30 giây rồi mà chưa được" không khác với xác suất của việc "ta vừa mới bắt đầu đợi và ta phải đợi thêm ít nhất 10 giây nữa". Sinh viên học môn xác xuất thường gặp phải nhầm lẫn đó. Thực tế rằng P(''T''₁ > 40 | ''T''₁ > 30) = P(''T''₁ > 10) không có nghĩa rằng các biến cố ''T''₁ > 40 and ''T''₁ > 30 là độc lập. Tóm lại, tính chất không bộ nhớ của phân bố xác suất của thời gian chờ đợi T cho đến lần xuất hiện tiếp theo có nghĩa là

 

 

Nó ''không'' có nghĩa là

 

 

(Công thức trên có nghĩa ''độc lập''. Nhưng hai biến cố này ''không'' độc lập)