Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Cận trên đúng”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n robot Dời: ja:最小上界, nl:Bovengrens en ondergrens, pl:Kres dolny i górny |
n robot Thêm: fa:کوچکترین کران بالا; sửa cách trình bày |
||
Dòng 1:
[[
Trong [[toán học]], giả sử ''S'' là tập con của một
Cận trên đúng thường được dùng cho các tập con của
Khái niệm cận trên đúng không trùng với các khái niệm như
== Cận trên đúng của một tập các số thực ==
Trong [[giải tích toán học|giải tích]],
=== Các ví dụ ===
:<math>\sup \, \{ 1, 2, 3 \} = 3\,</math>
Dòng 21:
:<math>\sup \, \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \} = \sqrt{2}\,</math>
Trong ví dụ cuối cùng, cận trên đúng của một tập [[số hữu tỉ|hữu tỉ]] là một [[số vô tỉ]], điều này cho thấy tập các số hữu tỉ là
Một tính chất cơ bản của cận trên đúng là
Dòng 27:
:<math>\sup \, \{ f(t) + g(t) : t \in A \} \le \sup \, \{ f(t) : t \in A \} + \sup \, \{ g(t) : t \in A \} </math>
với
Hơn nữa, nếu chúng ta định nghĩa sup(''S'') =
:<math>\sup \mathbb{Z} = \infty\,</math>
Dòng 35:
:<math>\sup \varnothing = -\infty\,</math>
Nếu cận trên đúng của một tập hợp lại thuộc tập hợp đó, thì nó chính là [[phần tử lớn nhất
Để chứng minh rằng ''a'' = sup(''S''), người ta thường chỉ ra ''a'' là một cận trên của ''S'' và bất kỳ một cận trên nào của ''S'' đều lớn hơn ''a''. Một cách khác tương đương, ta có thể chỉ ra ''a'' là một cận trên của ''S'' và bất kỳ một số nào nhỏ hơn ''a'' đểu không thể là cận trên của ''S''.
Dòng 43:
Cận trên đúng là một khái niệm quan trọng trong [[lý thuyết sắp]], và trong lý thuyết này chúng được mang tên là [[nối (toán học)|nối]] (đặc biệt trong [[dàn (sắp)|lý thuyết dàn]]). Như trong trường hợp đặc biệt các số thực mà ta vừa khảo sát ở trên, cận trên đúng của một tập hợp nào đó chẳng qua là phần tử nhỏ nhất của tập các [[cận trên]] của nó, với điều kiện tồn tại một phần tử như vậy.
Một cách hình thức, chúng ta có thể phát biểu: Cho tập con ''S'' của một [[tập được sắp một phần]] bất kỳ (''P'',
# ''x''
# với bất kỳ ''v'' trong ''P'' thỏa ''x''
Như vậy cận trên đúng sẽ không tồn tại nếu không có cận trên, hay nếu tập hợp các cận trên có hai hay nhiều phần tử mà trong đó không thể xác định được phần tử nào là nhỏ nhất.
Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu
Nếu cận trên đúng tồn tại, nó có thể thuộc hoặc không thuộc''S''. Nếu ''S'' chứa một [[phần tử lớn nhất]], thì phần tử ấy chính là cận trên đúng; và nếu không, thì cận trên đúng nếu có sẽ không thuộc ''S''.
Dòng 54:
Khái niệm [[tính đối ngẫu(lý thuyết sắp)|đối ngẫu]] với cận trên đúng là cận dưới lớn nhất mà được gọi là [[cận dưới đúng]] và cũng còn được gọi là [[gặp (toán)|gặp]].
Nếu cận trên đúng của một tập ''S'' tồn tại, nó được ký hiệu là sup(''S'') hay, trong lý thuyết sắp thường dùng ký hiệu
Một [[dàn đủ]] là một tập được sắp một phần mà
Các
== So sánh với các khái niệm sắp khác ==
=== Phần tử lớn nhất ===
Sự khác biệt giữa [[phần tử lớn nhất]] với cận trên đúng của một tập hợp là phần tử lớn nhất phải là một phần tử thuộc tập đó, còn cận trên đúng thì không cần. Lấy ví dụ, xét tập các số thực âm. Vì 0 không phải là số âm, tập này không có phần tử lớn nhất: với mọi phần tử của tập các số thực âm, luôn có phần tử lớn hơn. Cụ thể, với bất kỳ một số thực âm ''x'', có một số thực âm
Nói chung , tình huống này xảy ra cho tất cả các tập con mà không có phần tử lớn nhất. Ngược lại, nếu một tập chứa phần tử lớn nhất thì nó cũng sẽ có cận trên đúng chính bằng phần tử lớn nhất đó.
Dòng 69:
=== Phần tử cực đại ===
Để có một ví dụ trong đó không có phần tử lớn nhất mà lại có một số [[phần tử cực đại]], ta khảo sát tập gồm tất cả các tập con của tập số tự nhiên (gọi là [[tập lực lượng]]).Chúng ta dùng khái niệm bao hàm khá thông dụng để làm toán tử sắp, tức là chúng ta sẽ gọi một tập A lớn hơn tập B nếu A chứa tất cả các phần tử của tập B.Bây giờ, chúng ta xét tập ''S'' gồm tất
=== Cận trên cực tiểu ===
Dòng 81:
''' Tính chất cận-trên-nhỏ-nhất ''' là một ví dụ về [[tính đủ (lý thuyết sắp)|tính chất đủ]] mà rất đặc trưng cho tập các số thực. Đôi khi nó có được gọi là tính đủ Dedekind.
Nếu một tập được sắp ''S'' có tính chất là mọi tập con không rỗng của nó có một cận trên thì cũng có cận trên đúng thì ''S'' được gọi là có tính chất cận-trên-nhỏ-nhất. Như đã trình bày ở trên, tập '''R''' các số thực có tính chất cận-trên-nhỏ-nhất. Tương tự, tập '''Z''' các
Một ví dụ về một tập không có tính chất cận-trên-nhỏ-nhất là '''Q''', tập số hữu tỉ. Giả sử ''S'' là tập các số hữu tỉ ''q''
Có ‘tính chất cận-dưới-lớn-nhất’ tương ứng với ‘tính-chất-cận-trên-nhỏ-nhất’; một tập được sắp có tính chất cận-dưới-lớn-nhất khi và chỉ khi nó cũng có tính-chất-cận-trên-nhỏ-nhất ; cận-trên-nhỏ-nhất của tập gồm các cận dưới của một tập là cận-dưới-lớn-nhất, và cận-dưới-lớn-nhất của tập gồm các cận trên của một tập là cận-trên-nhỏ-nhất của tập đó.
Dòng 98:
* [http://planetmath.org/encyclopedia/Supremum.html Cận trên đúng] (''PlanetMath'')
[[
[[cs:Supremum]]
Dòng 106:
[[es:Supremo]]
[[eo:Preciza supra rando]]
[[fa:کوچکترین کران بالا]]
[[fr:Borne (mathématiques)]]
[[ko:최소상계]]
|