Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Bất đẳng thức Bernoulli”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
nKhông có tóm lược sửa đổi |
nKhông có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 9:
Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc [[chứng minh]] các bất đẳng thức khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp [[quy nạp toán học]]:
''Chứng minh'': Khi r=0, bất đẳng thức trở thành <math>(1+x)^0 \ge 1+0x</math> tức là <math>1\ge 1</math> mà rõ ràng đúng.
Từ đó chúng ta suy ra <math>(1+x)^{k+1} = (1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx)</math> (vì theo giả thiết <math>(1+x)\ge 0</math>)
<math>= 1+kx+x+kx^2 = 1+(k+1)x + kx^2 \ge 1+(k+1)x</math> (vì <math>kx^2 \ge 0</math>)
Do đó, chúng ta có <math>(1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x</math>, mà điều này có nghĩa là bất đẳng thức đúng với
Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi <math>r\ge 0 \ \ \Box \;</math>
Số mũ ''r'' có thể tổng quát hoá thành số thực bất kỳ như sau: nếu ''x'' > −1, thì
:<math>(1 + x)^r \geq 1 + rx\!</math>
với ''r'' ≤ 0 or ''r'' ≥ 1, và
:<math>(1 + x)^r \leq 1 + rx\!</math>
với 0 ≤ ''r'' ≤ 1.
Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các
Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu ''x'' ≠ 0 và ''r'' ≠ 0, 1.
Hàng 34 ⟶ 35:
Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức (1 + 1/''k'')<sup>''k''</sup> < ''e''.
[[
[[de:Bernoullische Ungleichung]]
| |||