|
[[Phương trình Pell]] là bài toán tìm nghiệm nguyên Diophantine bậc hai. Bài toán phát biểu như sau:
Xem phần ứng dụng dùng liên phân số để giải phương trình Pell ở bài [[phương trình Pell]].
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
<math> x^2 - dy^2 = 1 </math>
hoặc
<math> x^2 - dy^2 = -1 </math>
với d nguyên dương và không phải là số chính phương.
Thuật toán giải:
Nhận xét, nếu (x,y) là nghiệm nguyên của phương trình đã cho thì (-x,y), (x,-y), (-x,-y) cũng là nghiệm, do đó ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm nguyên không âm của phương trình đã cho.
Bước 1: Biểu diễn <math> \sqrt d</math> dưới dạng liên phân số.
Bước 2: Viết dãy các số hữu tỉ gần đúng của <math> \sqrt d</math> là <math> \frac {h_{n}} {k_{n}}</math>, khi đó thì:
(<math> {h_{n}}, {k_{n}}</math>) là nghiệm nguyên không âm của phương trình <math> x^2 - dy^2 = 1 </math> với n lẻ;
(<math> {h_{n}}, {k_{n}}</math>) là nghiệm nguyên không âm của phương trình <math> x^2 - dy^2 = -1 </math> với n chẵn.
Thuật toán này cho phép tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell đã cho.
Ví dụ:
Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
<math> x^2 - 2y^2 = 1 </math>.
Biểu diễn liên phân số của <math> \sqrt 2 </math> là:
<math> \sqrt 2 = [1;2,2,2,2, \,\ldots,] </math>.
Từ biểu diễn đó ta tìm ra các số hữu tỉ xấp xỉ với <math> \sqrt 2 </math>:
:<math> 1, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \frac{577}{408}, \frac{1393}{985}, \frac{3363}{2378}, \frac{8119}{5741}, \,\ldots, </math>.
Chú ý dãy số trên được bắt đầu với số thứ tự bằng 0.
Lấy các phân số ở vị trí lẻ ta được nghiệm nguyên dương của phương trình <math> x^2 - 2y^2 = 1 </math> là: (3,2) (17,12), (99,70), (577,408), (3363,2378), ...
và tất nhiên cả nghiệm tầm thường là (1,0).
Lấy các phân số ở vị trí chẵn ta được nghiệm nguyên dương của phương trình <math> x^2 - 2y^2 = -1 </math> là: (7,5) (41,29), (239,169), (1393,985), (8119,5741), ....
==Xem thêm==
| 