Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Phương trình bậc hai”

{{main|Biệt thức}}

[[File:Quadratic eq discriminant.svg|thumb|right|Hình 3. Ảnh hưởng của dấu của biệt thức đến số nghiệm [thực] của phương trình bậc hai. Khi Δ > {{math|0}}, đường parabol cắt trục hoành tại hai điểm; Δ = {{math|0}}, đỉnh của parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất; Δ < {{math|0}}, parabol không giao trục hoành tại bất kỳ điểm nào. (đường parabol là đồ thị của hàm số bậc hai)]]

Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức dưới dấu căn được gọi là ''[[biệt thức]]'' và thường được biểu diễn bằng chữ {{math|''D''}} hoa hoặc chữ [[delta]] hoa (Δ) trong bảng chữ cái Hy Lạp:<ref>'''Δ''' is the initial of the [[Greek language|Greek]] word '''Δ'''ιακρίνουσα, ''Diakrínousa'', discriminant.</ref>

:<math>\Delta = b^2 - 4ac.</math>

Phương trình bậc hai với các hệ số ''thực'' có thể có một hoặc hai nghiệm thực phân biệt, hoặc hai nghiệm phức phân biệt. Trong trường hợp này biệt thức quyết định số lượng và bản chất của nghiệm. Có ba trường hợp:

*Nếu Δ dương (Δ > {{math|0}}), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

::<math>\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{và}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a},</math>

:cả hai đều là nghiệm thực. Đối với những phương trình bậc hai có hệ số [[số hữu tỉ|hữu tỉ]], nếu Δ là một [[số chính phương]] thì nghiệm là hữu tỉ; còn với những trường hợp khác chúng có thể là các [[số vô tỉ]].

*Nếu Δ {{=}} {{math|0}}, phương trình có một nghiệm [[số thực|thực]]:

::<math>-\frac{b}{2a},</math>

:hay đôi khi còn gọi là [[nghiệm kép]].

*Nếu Δ âm (Δ < {{math|0}}), phương trình không có nghiệm thực, thay vào đó là hai nghiệm [[số phức|phức]] phân biệt<ref>{{cite book|last=Achatz|first=Thomas|last2=Anderson|first2=John G.|last3=McKenzie|first3=Kathleen|title=Technical Shop Mathematics|year=2005|publisher=Industrial Press|isbn=0-8311-3086-5|url=http://books.google.co.uk/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA276&dq=quadratic+formula&hl=en&sa=X&ei=mG_8T9-PMuPC0QXOmZigBw&ved=0CEEQ6AEwAQ#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false|page=277}}</ref>

::<math> \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a} \quad\text{và}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}</math>

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ khác {{math|0}}, có nghiệm thực khi và chỉ khi Δ không âm (Δ ≥ {{math|0}})

.

=== Diễn giải bằng hình học ===

Hàm số {{math|''f''(''x'') {{=}} ''ax''² + ''bx'' + ''c''}} là [[hàm số bậc hai]].<ref>{{cite book |last=Wharton |first=P. |title=Essentials of Edexcel Gcse Math/Higher |year=2006 |publisher=Lonsdale |isbn=978-1-905-129-78-2|url=http://books.google.co.uk/books?id=LMmKq-feEUoC&pg=PA63&dq=%22Quadratic+function%22+%22Quadratic+equation%22&hl=en&sa=X&ei=bnT8T-6AKIWX8gP13bCzBw&ved=0CDsQ6AEwAQ#v=onepage&q=%22Quadratic%20function%22%20%22Quadratic%20equation%22&f=false |page=63}}</ref> Đồ thị của bất kỳ hàm bậc hai nào cũng đều có một dạng chung được gọi là [[parabol]]. Vị trí, hình dạng, kích cỡ của parabol phụ thuộc vào giá trị của {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, và {{math|''c''}}. Nếu {{math|''a'' &gt; 0}}, prabol có một điểm cực tiểu và bề lõm hướng lên trên; nếu {{math|''a'' &lt; 0}}, parabol có một điểm cực đại và bề lõm hướng xuống dưới (xem hình 1, a). Cực điểm của parabol ứng với [[đỉnh (đường cong)|đỉnh]] của nó; điểm này có hoành độ <math>\scriptstyle x=\tfrac{-b}{2a}</math>, tính ''{{math|x}}'' rồi thế vào hàm số ta sẽ tìm được giá trị tung độ. Đồ thị giao trục tung tại điểm có tọa độ {{math|(0, ''c'')}}.