Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Điểm uốn”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 33:
2) Một điều kiện đủ khác tương đương là đòi hỏi ''f′′''(''x'' + ε) và ''f′′''(''x'' − ''ε'') là trái dấu nhau trong lân cận của ''x'' , nếu cũng tồn tại tiếp tuyến tại điểm này. ([[Bronshtein and Semendyayev]] 2004, p. 231).
[[Tập tin:Animated illustration of inflection point.gif|500px|nhỏ|giữa|Đồ thị của ''f''(''x'') = sin(2''x'') trong đoạn −{{pi}}/4 đến 5{{pi}}/4; chú ý đạo hàm bậc hai của ''f'' là ''f″''(''x'') = –4sin(2''x''). Tiếp tuyến có màu lam khi đường cong lồi (nó nằm bên trên tiếp tuyến), màu lục khi đường cong lõm (nằm bên dưới tiếp tuyến), và đỏ tại điểm uốn: 0, {{pi}}/2 và {{pi}}]]
== Ví dụ ==
:<math> { f(x) } = { 1 \over 3 } \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x </math>
Sau đó, đạo hàm bậc hai của hàm cho bởi:
:<math> {f''(x)} = {2 \cdot x - 4} </math>
Điểm chuyển hướng <math>x_C</math> thỏa mãn điều kiện cần
:<math> {f''(x)} = 0</math> tương đương
:<math> {2 \cdot x - 4} = 0</math>
Do đó <math>x_C = 2</math>. Để xác nhận đây là điểm uốn, cần thiết phải tính đạo hàm bậc ba
:<math> {f'''(x)} = 2 \,</math>
Vì <math>f\,'''(x_C) = f'''(2) = 2 \neq 0</math> thỏa mãn điều kiện đủ, do vậy đây là điểm uốn của đồ thi hàm số. Hoặc có thể phát hiện ra điểm uốn mà không cần thực hiện tính đạo hàm bậc ba: nhận xét thấy <math>f\,''(x) = 2 \cdot x - 4 < 0</math> đối với mọi <math>x<2</math> và <math>f\,''(x) = 2 \cdot x - 4 > 0</math> đối với mọi <math>x>2</math> ta thấy có sự thay đổi dấu tại điểm này do vậy đây là một điểm uốn.
Tọa độ <math>y</math> của điểm uốn tìm được bằng cách thay <math>x=2</math> vào phương trình hàm số.
:<math>y_C = f(2) = {1 \over 3} \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 = {2 \over 3}</math>
Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm uốn tìm được bằng cách: thay tọa độ <math>x_C</math> của điểm uốn (bằng 2) vào phương trình đạo hàm bậc nhất, thì sẽ nhận được giá trị [[độ dốc]] (m). Tiếp đến hằng số b trong phương trình tiếp tuyến (y = mx + b), tìm được bằng cách thay giá trị tọa độ <math>x_C</math> và <math>y_C</math> của điểm uốn vào phương trình vừa tìm được độ dốc m.
:<math>f\,'(x) = x^2 - 4 \cdot x + 3</math>
:<math>f\,'(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1</math>
:Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn: <math>y = -x + {8 \over 3}</math>
==Xem thêm==
| |||