Khác biệt giữa các bản “Không gian vectơ”

* Không gian <math>M_{mn}(\R)</math> của các [[ma trận]] số thực kích thước (m,n)
* Không gian gồm tất cả các hàm <math>f: [a,b] \to \R</math>
* Cho <math>{{P}_{n}}[x]</math> là tập hợp tất cả các đa thức biến ''x'' với hệ số thực có bậc bé hơn hoặc bằng n. Tức là:
<math>{{P}_{n}}[x]=\left\{ f(x)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{\text{a}}_{\text{n}}}{{x}^{n}}:{{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}\in \mathbb{R} \right\}</math>
 
<math>\forall f(x)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{\text{a}}_{\text{n}}}{{x}^{n}},\quad g(x)={{b}_{0}}+{{b}_{1}}x+{{b}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{b}_{\text{n}}}{{x}^{n}}\,\in {{P}_{n}}[x],\,\forall \alpha \in \mathbb{R}</math>
Những thí dụ này cho thấy một "không gian vectơ" không nhất thiết gồm các "vectơ" như vẫn hiểu theo nghĩa phổ thông.
 
::''Phép cộng'' '''+''':
<math>\begin{align}
& (f+g)(x)=f(x)+g(x) \\
& =({{a}_{0}}+{{b}_{0}})+({{a}_{1}}+{{b}_{1}})x+({{a}_{2}}+{{b}_{2}}){{x}^{2}}+...+({{\text{a}}_{\text{n}}}+{{b}_{n}}){{x}^{n}} \\
& \leftrightarrow ({{a}_{0}}+{{b}_{0}},{{a}_{1}}+{{b}_{1}},{{a}_{2}}+{{b}_{2}},...,{{a}_{n}}+{{b}_{n}})=a\in {{\mathbb{R}}^{n+1}} \\
\end{align}</math>
 
::''Phép nhân'' '''.''':
<math>\begin{align}
& k.f(x)=k{{a}_{0}}+k{{a}_{1}}x+k{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+k{{\text{a}}_{\text{n}}}{{x}^{n}} \\
& \leftrightarrow (k{{a}_{0}},k{{a}_{1}},k{{a}_{2}},...,k{{a}_{n}})=ka\in {{\mathbb{R}}^{n+1}} \\
\end{align}</math>
 
Như vậy, hai phép toán '''+''' và '''•''' thực hiện trên <math>{{P}_{n}}[x]</math> '''tương ứng''' với hai phép '''+''' và '''•''' thực hiện trên <math>{{\mathbb{R}}^{n+1}}</math> nên <math>({{P}_{n}}[x],+,\cdot )</math> là một không gian vector trên <math>\mathbb{R}</math>.Trong đó phần tử 0 là đa thức hằng 0.
 
==Xem thêm==
69

lần sửa đổi