Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Số hữu tỉ”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Thẻ: Thay thế nội dung |
n Đã lùi lại sửa đổi của 2001:EE0:4BDB:6070:9982:6CDE:CFC3:1EEC (Thảo luận) quay về phiên bản cuối của Tuanminh01 Thẻ: Lùi tất cả |
||
Dòng 1:
{{chú thích trong bài}}
[[Tập tin:Fracciones.gif|khung|Một phần tư]]
Trong [[toán học]], '''số hữu tỉ''' là các [[số]] '''x''' có thể biểu diễn dưới dạng '''phân số''' (thương) ''a/b'', trong đó ''a'' và ''b'' là các số nguyên với ''b'' <math>\ne</math> ''0''.<ref name="Rosen">{{cite book |last = Rosen |first=Kenneth |year=2007 |title=Discrete Mathematics and its Applications |edition=6th |publisher=McGraw-Hill |location=New York, NY|isbn=978-0-07-288008-3 |pages=105, 158–160}}</ref> Tập hợp số hữu tỉ ký hiệu là <math>\mathbb Q </math>.<ref>{{cite web|last1=Rouse|first1=Margaret|title=Mathematical Symbols|url=http://searchdatacenter.techtarget.com/definition/Mathematical-Symbols|accessdate=1 April 2015}}</ref>
Một cách tổng quát:
:<math>\mathbb{Q} = \left\{x | x = \frac{m}{n}; m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z^*}\right\}</math>
Tập hợp số hữu tỉ là [[tập hợp|tập hợp đếm được]].
Các số thực không phải là số hữu tỉ được gọi là các [[số vô tỉ]].
Tuy nhiên, tập hợp các số hữu tỷ không hoàn toàn đồng nhất với tập hợp các phân số p/q, vì mỗi số hữu tỷ có thể biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau. Chẳng hạn các phân số 1/3, 2/6, 3/9,... cùng biểu diễn một số hữu tỷ.
== Biểu diễn số hữu tỷ ==
=== Biểu diễn trong hệ thập phân và các hệ cơ số khác ===
Khi biểu diễn số hữu tỷ theo [[hệ thập phân|hệ ghi số cơ số 10]] (dạng thập phân), số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ:
:<math>\frac{2}{25} = 0,08</math>
:{|
|-
|<math>\frac{5}{7}</math>
|
|<math>= 0,71428571428571428571428571428571...\,</math>
|-
|
|
|<math>= 0,(714285)\,</math>
|}
:{|
|-
|<math>\frac{24}{17}</math>
|<math>= 1,4117647058823529411764705882353...\,</math>
|-
|
|<math>= 1,(4117647058823529)\,</math>
|}
Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là [[chu kỳ]], và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt quá
|b|.
Một cách tổng quát, trong một hệ cơ số bất kỳ, các chữ số sau dấu phẩy của số hữu tỷ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
=== Biểu diễn bằng liên phân số: ===
Một số thực là số hữu tỷ khi và chỉ khi biểu diễn [[phân số liên tục|liên phân số]] của nó là hữu hạn.
== Số hữu tỉ trong quan hệ với các tập hợp số khác ==
[[Tập tin:Set of real numbers (diagram).svg|nhỏ|phải|300px|Các tập hợp số.]]
:<math>\mathbb N</math>: Tập hợp [[số tự nhiên]]
:<math>\mathbb Z</math>: Tập hợp [[số nguyên]]
:<math>\mathbb Q</math>: Tập hợp số hữu tỉ
:<math>\mathbb R</math>: Tập hợp [[số thực]]
:<math>\mathbb I = \R \setminus \mathbb Q</math>: Tập hợp [[số vô tỉ]]
Ta có <math>\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R </math>.
== Xây dựng tập các số hữu tỷ từ tập số nguyên ==
Trong [[Đại số trừu tượng|toán học hiện đại]], người ta xây dựng tập hợp các số hữu tỷ như [[trường các thương]] của <math>\mathbb{Z}</math>.
Xét tập tích Decaters:
:<math>\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^*</math>=<math>\{(a; b)| a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^* \}</math>
Trên đó xác định một quan hệ tương đương:
:: <math>\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \Leftrightarrow ad = bc</math>
[[quan hệ (toán học)#Quan hệ tương đương|lớp tương đương]] của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a cho b:
: <math>a/b = {\left [ (a,b) \right]}_{\sim} </math>
Tập các lớp này ([[quan hệ (toán học)#Quan hệ tương đương|tập thương]]) được gọi là tập các số hữu tỷ và ký hiệu là <math>\mathbb Q</math>.
Trên tập <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^*</math> định nghĩa các phép toán:
: <math>\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)</math>
: <math>\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)</math>
Khi đó
nếu <math>\left(a, b \right)\sim \left(a', b'\right)</math> và <math>\left(c, d\right) \sim \left(c', d'\right)</math>
:thì <math>\left(a, b \right)+\left(c, d\right) \sim \left(a', b'\right)+\left(c', d'\right)</math>;
:và <math>\left(a, b \right)\times \left(c, d\right) \sim \left(a', b'\right) \times \left(c', d'\right)</math>.
Do đó các phép toán trên có thể được chuyển sang thành các phép toán trên tập các lớp tương đương nói trên, nghĩa là tập <math>\mathbb{Q}</math>.
Để xem <math>\mathbb Z</math> là bộ phận của <math> \mathbb Q</math> ta nhúng <math>\mathbb Z</math> vào <math>\mathbb Q</math> nhờ đơn ánh cho mỗi số nguyên ''n'' ứng với lớp ''n''/1 trong <math>\mathbb Q</math>.
== Xem thêm ==
* [[Số nguyên tố]]
* [[Số nguyên]]
* [[Số tự nhiên]]
* [[Số vô tỉ]]
* [[Số đại số]]
* [[Số siêu việt]]
* [[Số thực]]
* [[Số phức]]
* [[Số siêu phức]]
==Tham khảo==
{{tham khảo}}
== Liên kết ngoài ==
* [http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html Số hữu tỉ] tại MathWorld.
{{Kiểm soát tính nhất quán}}
{{Hệ thống số}}
[[Thể loại:Số hữu tỉ| ]]
[[Thể loại:Lý thuyết tập hợp]]
[[Thể loại:Toán học sơ cấp]]
[[Thể loại:Lý thuyết trường]]
[[Thể loại:Phân số]]
| |||