Wikipedia

Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Dòng chảy Poiseuille”

Duyệt lịch sử tương tác
← Thay đổi trướcThay đổi sau →
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Trực quanMã wiki
→‎top: clean up, added underlinked tag
Dòng 5:
== Bài toán đặt ra ==
 
Xét dòng chảy thiếtxuôi lậptheo trục của ống của một chất lỏng '''không bị nén''' vớivà là '''dòng dừng''' có độ nhớt <math> \eta</math> trong ống hình trụ nhỏ có tiết diện ngang tròn và có chết độ '''chảy thành lớp'''. Giả sử 2 đầu ống hình trụ (có đọđộ dài l) được giữ bởi áp suất p1, p2 (p1 > p2) sao cho hiệu áp suất không đổi, bán kính hình trụ là R, trụcta Oxxét nằmtiết dọcdiện theo trụcngang của hình trụống:
 
Sử dụng hệ tọa độ cực, xét lớp nước chứa trong hình xuyến trụ có bán kính trong là r, bán kính ngoài là r+dr với độ dài là l, lực ma sát nhớt động học tác dụng lên lớp chất lỏng ở mặt trong hình xuyến trụ, theo công thức Newton:
Lực tác dụng lên phần chất lỏng nằm trong khoảng tọa độ x, x + dx:
 
<math>
<math> F = \pi r^2 (p(x) - p(x + dx)) = -\pi r^2 dp = 2 \pi r \tau dx = - 2 \pi r dx \eta {dv \over dr} </math>
F1= -\eta {dv \over dr} 2 \pi rl </math> (1)
 
Lực ma sát tác dụng lên lớp chất lỏng ở mặt ngoài hình xuyến trụ:
trong đó <math>\tau = - \eta {\partial v \over \partial r}</math> - ma sát trong
 
Khi đó:,
 
<math>r {dp \over dx} = 2 \eta {dv \over dr}</math><math> F2 = - F1 + d F1 = \eta {dv \over dr} 2 \pi rl + \eta 2 \pi l d(r {dv \over dr}) </math> (2)
 
Vì là dòng chảy thành lớp, chất lỏng trong hình xuyến trụ còn chịu tác dụng của lực sinh ra do chênh lệch áp suất ở 2 đầu ống:
Đối với dòng chảy tầng:
 
<math>{dp F3 = (p1 - p2) d(\overpi dx}r^2) = {{p_2(p1 - p_1}p2) 2 \overpi r d(r) l}</math>, ta nhận được:(3)
 
Vì là dòng dừng, gia tốc của phần chất lỏng hình xuyến trụ trên bằng không, theo tiên đề 2 newton cho động lực học:
<math>r {{p_2 - p_1} \over l} = {2 \eta {dv \over dr}} </math>▼
 
<math> \sum_{i=1}^3 Fi = 0 </math> (4)
Suy ra:
 
Từ (1)(2)(3) và (4):
<math>dv ={ {p_2 - p_1} \over {2 l \eta} }r dr </math>
 
▲<math>r {{p_2\eta - p_1}2 \overpi l} = {2 \etad(r {dv \over dr}}) + (p1-p2) 2 \pi r dr = 0 </math>
Lấy tích phân 2 vế:
 
Tích phân 2 vế ta được:
<math>\int\limits_{v_0}^v dv ={ {p_2 - p_1}\over{2 l \eta}}\int\limits_0^r r dr</math>
 
<math> {\displaystyle \int \eta 2\pi l d(r{dv \over dr})+\int (p1-p2)2\pi rdr= const}
Thu được:
</math>
 
<math>v - v_0 = {{p_2 - p_1}\over{4 l \eta}} r^2</math>
 
Bởi<math> vì{\displaystyle khi2 r\eta =l Rr thì{dv v\over =dr} 0,+ nên(p1-p2) <math>v_0r^2 = {{p_2 - p_1const}\over{4 l \eta}} R^2</math>
 
Với r=0, ta có const=0
Suy ra:
 
Phương trình trên được viết lại: <math>v = {{p_2\displaystyle -2 p_1}\over{4eta l {dv \eta}over dr} + (R^2 p1-p2) r^2) = v_00} (1 - {r^2\over R^2})</math>
 
<math> - \int dv = \left ( \frac{p1-p2}{2 \eta l } \right )\int r dr </math>
Công thức trên cho ta biết vận tốc của điểm dang xét phụ thuộc vào bán kính ra từ trục hình trụ đến điểm đó - công thức Poiseuille. Và dòng chảy như vậy gọi là dòng chảy Poiseuille.
 
=> Với điều kiện biên khi r=R thì v=0 ta được:
 
<math> v(r) = \frac{1}{4 \eta} \frac{p1-p2}{l} (R^2 - r^2) </math> (*)
 
Từ phương trình (*) ta tính lưu lượng toàn phần :
 
<math> V(t) = \int_{0}^{R} v d(\pi r^2) t = \int_{0}^{R} t v 2 \pi r dr = \frac{\pi}{8 \eta} \frac{p1-p2}{l} R^4 t </math>
 
Đây chính là phương trình Poiseuille cho dòng chất lỏng chảy qua một ống tiết diện tròn.
 
== Định luật Poiseuille ==
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/wiki/Dòng_chảy_Poiseuille”