Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Cấp số nhân”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
|||
Dòng 66:
\frac{1-r^{n+1}}{(1-r)^2}-\frac{(n+1)r^n}{1-r}</math>
=== Tổng vô hạn ===
Nếu cấp số nhân có vô hạn phần tử thì tổng <math>S_n</math> là hội tụ khi <math>n \to \infty</math> khi và chỉ khi [[giá trị tuyệt đối]] của công bội nhỏ hơn một( |''r''|<1 ).
:<math>S=\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r} = \frac{a}{1-r}</math>
Chẳng hạn,
:<math>\sum_{k=0}^\infty (191) \left(\frac{6}{7}\right)^k = \frac{191}{1-\frac{6}{7}} = 1337</math>
Khi tổng không khởi đầu từ ''k'' = 0, ta có
:<math>\sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r}</math>
Cả hai công thức chỉ đúng khi |''r''| < 1. Công thức sau cũng đúng trong mọi [[đại số Banach]], khi chuẩn (norm) của ''r'' nhỏ hơn 1, và trong trường của các [[số p-adic]] nếu |''r''|<sub>''p''</sub> < 1. Cũng như trong tổng hữu hạn, ta có vi phân của tổng.
Chẳng hạn,
:<math>\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=0}^\infty kr^{k-1}=
\frac{1}{(1-r)^2}</math>
Tất nhiên công thức chỉ đúng khi |''r''| < 1.
=== Số phức ===
Công thức tính tổng của cấp số nhân cũng đúng khi các phần tử là các số phức. Điều này được sử dụng, cùng với [[Công thức Euler]], để tính một vài tổng như:
: <math> \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{1}{2 i} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{e^{ix}}{r} \right)^k - \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{-ix}}{r}\right)^k\right]</math>.
Từ đó có:
: <math> \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{r \sin(x)}{1 + r^2 - 2 r \cos(x)} </math>
== Xem thêm ==
*[[Dãy (toán học)]]
*[[Thomas Robert Malthus]]
*[[Cấp số cộng]]
== Liên kết ngoài ==
[[Thể loại:Dãy số]]
[[am:የጆሜትሪክ ድርድር]]
[[ar:متتالية هندسية]]
[[az:Həndəsi silsilə]]
[[id:Deret ukur]]
[[ms:Janjang geometri]]
[[bs:Geometrijska progresija]]
[[bg:Геометрична прогресия]]
[[ca:Progressió geomètrica]]
[[cs:Geometrická posloupnost]]
[[da:Geometrisk række]]
[[de:Geometrische Folge]]
[[et:Geomeetriline jada]]
[[el:Γεωμετρική πρόοδος]]
[[en:Geometric progression]]
[[es:Progresión geométrica]]
[[fa:تصاعد هندسی]]
[[fr:Suite géométrique]]
[[ko:등비수열]]
[[hr:Geometrijski niz]]
[[io:Geometriala progresiono]]
[[it:Progressione geometrica]]
[[he:סדרה הנדסית]]
[[ka:გეომეტრიული პროგრესია]]
[[lt:Geometrinė progresija]]
[[hu:Mértani sorozat]]
[[mk:Геометриска прогресија]]
[[nl:Meetkundige rij]]
[[ja:等比数列]]
[[pms:Progression geométrica]]
[[pl:Szereg geometryczny]]
[[pt:Progressão geométrica]]
[[ru:Геометрическая прогрессия]]
[[sk:Geometrická postupnosť]]
[[sl:Geometrijsko zaporedje]]
[[sr:Геометријска прогресија]]
[[fi:Geometrinen sarja]]
[[sv:Geometrisk funktion]]
[[th:การก้าวหน้าเรขาคณิต]]
[[uk:Геометрична прогресія]]
[[zh:等比数列]]
| |||