Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Hàm Gauss”

Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Fme1704 (thảo luận | đóng góp)
Không có tóm lược sửa đổi
Dòng 10:
 
Hàm Gauss được sử dụng rộng rãi. Trong [[khoa học Thống kê|thống kê]] chúng miêu tả [[phân phối chuẩn|phân bố chuẩn]], trong [[xử lý tín hiệu]] chúng giúp định nghĩa [[bộ lọc Gauss]], trong [[xử lý hình ảnh]] hàm Gauss hai chiều được dùng để tạo [[hiệu ứng mờ Gauss]], và trong [[toán học]] chúng được dùng để giải [[phương trình truyền nhiệt|phương trình nhiệt]] và [[phương trình khuếch tán]] và định nghĩa [[phép biến đổi Weierstrass]].
 
<br />
 
== Tích phân ==
Đặt I=<math>I=\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx</math>, Thì ta có <math>I^2=(\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx)(\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2+y^2} dxdy</math>.
 
để áp dùng biến đổi [[Hệ tọa độ cực]], đặt <math>x=r\cos\theta, y=r\sin\theta </math> lại. Ta có <math>\begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} dr \\ d\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} dr \\ d\theta \end{bmatrix} </math>với [[Ma trận Jacobi]].
 
Mà [[Định thức Jacobi]] <math>J=\begin{bmatrix} \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} \end{bmatrix}</math>, Ta có <math>dxdy = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix}drd\theta = rdrd\theta </math>.
 
Nên <math>I^2=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2+y^2} dxdy = \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\infty} e^{-r^2} rdrd\theta</math>.
 
Vậy <math>I^2= \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\infty} e^{-r^2} rdrd\theta = \int\limits_{0}^{2\pi} [ e^{-r^2}]_{0}^{\infty} drd\theta = \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta = \pi </math>, <math>I=\sqrt\pi.</math>
 
Đây là lý do của diện tích dưới đường cong [[Phân phối chuẩn]] phải bằng 1.
 
==Tính chất==