Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Biến đổi Fourier rời rạc”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n r2.6.4) (robot Thêm: cs:Fourierova transformace#Diskrétní Fourierova transformace |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 1:
{{Biến đổi Fourier}} Trong [[toán học]], phép '''biến đổi Fourier rời rạc (DFT)''', đôi khi còn được gọi là [[biến đổi Fourier hữu hạn]], là một biến đổi trong [[giải tích Fourier]] cho các tín hiệu thời gian rời rạc. Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các [[số thực]] hoặc [[số phức]], làm biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin trên các [[máy tính]]. Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong [[xử lý tín hiệu]] và các ngành liên quan đến phân tích tần số chứa trong trong một tín hiệu, để giải [[phương trình đạo hàm riêng]], và để làm các phép như [[tích chập]]. Biến đổi này có thể được tính nhanh bởi thuật toán [[biến đổi Fourier nhanh]] (FFT).
==Định nghĩa==
Dòng 6:
:<math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2 \pi i}{N} k n} \quad \quad k = 0, \dots, N-1</math>
với ''e'' là [[e (hằng số toán học)|cơ
Phép '''biến đổi Fourier rời rạc ngược (IDFT)''' được cho bởi công thức sau
:<math>x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{\frac{2\pi i}{N} k n} \quad \quad n = 0,\dots,N-1.</math>
Những phương trình này có thể được mô tả đơn giản như sau: các số phức ''X<sub>k</sub>'' đại diện cho biên độ và pha ở các bước sóng khác nhau của "tín hiệu vào" ''x<sub>n</sub>''. Phép biến đổi DFT tính các giá trị ''X<sub>k</sub>'' từ các giá trị ''x<sub>n</sub>'', trong khi IDFT tính ''x<sub>n</sub>'' bằng tổng của các sóng thành phần
<math>\frac{1}{N} X_k e^{\frac{2\pi i}{N} k n}</math> với [[tần số]] ''k / N''. Khi viết các phương trình dưới dạng như trên, ta đã sử dụng [[công thức Euler]] để biểu diễn các hàm lượng giác dưới dạng lũy thừa số phức để biến đổi được dễ dàng. Khi viết ''X<sub>k</sub>'' dưới dạng [[tọa độ cực]], ta thu được biên độ ''A<sub>k</sub> / N'' và pha ''φ<sub>k</sub>'' từ modulus và argument của ''X<sub>k</sub>'':
:<math>A_k = |X_k| = \sqrt{\operatorname{Re}(X_k)^2 + \operatorname{Im}(X_k)^2},</math>
:<math>\varphi_k = \arg(X_k) = \operatorname{atan2}\big( \operatorname{Im}(X_k), \operatorname{Re}(X_k) \big),</math>
trong đó [[atan2]] là dạng hai đối số của hàm [[arctan]]. Cần ghi chú rằng các thừa số chuẩn hóa của DFT và IDFT (ở đây là 1 và 1/''N'') và dấu của các số mũ chỉ là quy ước, và có thể khác nhau trong các tài liệu khác nhau. Điều kiện duy nhất cho các quy ước này là DFT và IDFT có dấu ngược nhau ở các số mũ và tích của hai thừa số chuẩn hóa phải là 1/''N''.
==Các tính chất==
Phép biến đổi Fourier rời rạc là một [[biến đổi tuyến tính]] khả nghịch
:<math>\mathcal{F}\colon\mathbb{C}^N \to \mathbb{C}^N</math>
trong đó '''C''' kí hiệu tập các [[số phức]]. Nói cách khác, với mọi ''N'' > 0, mọi vectơ phức ''N'' chiều đều có một DFT và một IDFT, và chúng đều là các vectơ phức ''N'' chiều.
==Tham khảo==
| |||