Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Nguyên hàm”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 5:
Nguyên hàm được liên hệ với [[tích phân]] thông qua [[định lý cơ bản của giải tích]], cung cấp một phương tiện tiện lợi để tính toán tích phân của nhiều hàm số.
==
(1) Hàm số ''f'' (''x'') = cos ''x'' có nguyên hàm là ''F'' (''x'') = sin ''x'' vì (sin ''x'')' = cos ''x'' (tức ''F'' '(''x'') = ''f'' (''x'')).
(2) Hàm số ''f'' (''x'') = ''a<sup>x</sup>'' có nguyên hàm là ''F''(''x'') = <math>\frac{a^x}{\ln a}</math>vì <math>\left ( \frac{a^x}{\ln a} \right )'</math> = ''a<sup>x</sup>.''
Giả sử hàm số ''F'' là một nguyên hàm của hàm số ''f'' trên K. Khi đó: với mỗi hằng số ''C'', hàm số ''y'' = ''F''(''x'') + C cũng là một nguyên hàm của ''f'' trên K và ngược lại với mỗi nguyên hàm ''G'' của ''f'' trên ''K'' thì tồn tại một hằng số ''C'' sao cho ''G''(''x'') = ''F''(''x'') + C với mọi ''x'' thuộc ''K''. Do đó ta thấy nếu ''F'' là một nguyên hàm của ''f'' trên ''K'' thì mọi nguyên hàm của ''f'' trên ''K'' đều có dạng ''F''(''x'') + C với số thực ''C''. Vậy ''F''(''x'') + ''C'' với số thực ''C'' là họ tất cả các nguyên hàm của ''f'' trên ''K''. Kí hiệu: <math>\int f(x)\, dx.</math>
Người ta chứng minh được mọi hàm số liên tục trên ''K'' đều có nguyên hàm trên ''K''
== Tính chất ==
Nếu ''f'' và ''g'' là hai hàm số liên tục trên ''K'' thì
(1) <math>\int [f(x) + g(x)]\, dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx</math>
(2) <math>\int kf(x)dx=k\int f(x)</math>(với mọi số thực ''k'' khác 0).
Thí dụ: <math>\int \sin^2x\, dx=\int \frac{1-\cos x}{2}dx=\frac{1}{2}\int dx - \frac{1}{2} \int \cos2x dx= \frac{x}{2}- \frac{\sin 2x}{4}+ C</math>.
== Ý nghĩa ==
Các nguyên hàm có ý nghĩa quan trọng vì chúng được dùng để tính toán các [[tích phân]], sử dụng [[định lý cơ bản của giải tích]]: nếu ''F'' là một nguyên hàm của ''f'', thì:
| |||