|
[[Tập tin:QuantumHarmonicOscillatorAnimation.gif|phải|nhỏ|373x373px|Một số quỹ đạo của một [[dao động tử điều hòa]] theo [[Các định luật về chuyển động của Newton|luật của Newton]] của [[cơ học cổ điển]] (A–B), và theo [[Phương trình Schrödinger|Schrödinger phương trình]] của [[cơ học lượng tử]] (C–H). Trong A–B, các hạt (đại diện như một bóng gắn vào một [[Định luật Hooke|mùa xuân]]) dao động lại. Ở C–H, một số giải pháp cho các Phương trình Schrödinger được thể hiện, nơi trục ngang là vị trí dọc thực sự là một phần (màu xanh) hay tưởng tượng một phần (đỏ) của [[hàm sóng]]. C, D, E, F, nhưng không G, H, được [[Trạng thái dừng|năng lượng eigenstates]]. H là một mạch lạc nước—một trạng thái lượng tử thành cổ điển quỹ đạo.]]
[[Tập tin:Simple harmonic oscillator.gif|phải|frame|Một con lắc lò xo thẳng đứng là một dao động tử điều hòa.]]
Các '''dao động tử điều hòa''' là lượng [[Cơ học lượng tử|tử cơ học]] tương tự của các [[Dao động tử điều hòa|dao động điều hòa]] trong lĩnh vực Vật lý. Bởi vì một tùy ý [[Thế năng|tiềm năng]] thường có thể được coi như là một sự [[Dao động tử điều hòa|hài hòa tiềm năng]] tại khu vực của một ổn định điểm cân bằng, đó là một trong những quan trọng nhất mẫu hệ thống ở cơ học lượng tử. Hơn nữa, một trong số ít lượng tử-hệ thống cơ khí mà một tính toán chính xác, được phân tích giải pháp được biết đến.<ref>
{{Chú thích sách|title=Introduction to Quantum Mechanics|last=[[David Griffiths (physicist)|Griffiths, David J.]]|publisher=Prentice Hall|year=2004|isbn=978-0-13-805326-0|edition=2nd}}</ref><ref>{{Chú thích sách|title=Introductory Quantum Mechanics|last=[[Liboff, Richard L.]]|publisher=Addison–Wesley|year=2002|isbn=978-0-8053-8714-8}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=http://www.ncp.edu.pk/docs/12th_rgdocs/Munir-Rasheed.pdf|title=Transition amplitude for time-dependent linear harmonic oscillator with Linear time-dependent terms added to the Hamiltonian|author=Rashid|first=Muneer A.|authorlink=Munir Ahmad Rashid|year=2006|website=M.A. Rashid – [[National University of Sciences and Technology, Pakistan|Center for Advanced Mathematics and Physics]]|publisher=[[National Center for Physics]]|format=[[PDF]]-[[Microsoft PowerPoint]]|doi=|access-date=19 Oct 2010}}</ref>
== Một chiều dao động tử điều hòa ==
Trong [[cơ học cổ điển]], '''dao động tử điều hòa''' là một hệ thống cơ học thực hiện [[dao động]] mà chuyển động của có thể mô tả bởi những [[hàm số điều hòa]] của thời gian, có li độ (x) là hàm [[sin]] hoặc [[Hàm lượng giác#cosin|cosin]] <ref>{{chú thích sách | last = Serway | first = Raymond A. | coauthors = Jewett, John W. | title = Physics for Scientists and Engineers | publisher = Brooks/Cole | year = 2003 | isbn = 0-534-40842-7 }}</ref> của thời gian.
=== Hamilton và Năng lượng eigenstates ===
Chuyển động của dao động tử điều hòa gọi là '''dao động điều hòa'''. Mọi chuyển động này đều có thể phân tích thành tổng của các [[dao động điều hòa đơn giản|dao động điều hòa đơn]].
[[Tập tin:HarmOsziFunktionen.png|nhỏ|Hàm sóng đại diện cho tám ràng buộc eigenstates, ''n'' = 0 đến 7. Trục ngang cho thấy các vị trí ''x''. Chú ý: tốt không bình thường, và các dấu hiệu của một số các chức năng khác nhau từ những người đưa ra trong văn bản.]]
[[Tập tin:Aufenthaltswahrscheinlichkeit_harmonischer_Oszillator.png|nhỏ|Tương ứng với xác suất mật độ.]]
Các [[Toán tử Hamilton|Hamilton]] của hạt là:
Công thức như sau
== Dao động điều hòa đơn giản (simple harmonic oscillation)==
:''Xem bài chính [[dao động điều hòa đơn giản]]''
Ly độ (hay tọa độ) trong [[dao động điều hòa đơn giản|dao động điều hòa đơn]] được mô tả bởi hàm số sin hoặc cosin của thời gian, cho bởi:
:<math>x = A \cos(\omega t + \varphi)</math>
Các đại lượng tương ứng trong phương trình:
:<math>A</math>: [[biên độ]] là ly độ cực đại(<math>x_{max}</math>)
:<math>\omega</math>: [[tần số góc]] (rad/s)
:<math>\omega t + \varphi</math>: là pha của dao động tại thời điểm t
:<math>\varphi</math>: pha ban đầu của dao động
: <math>\hat H = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} k {\hat x}^2 = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\, ,</math>
=== Chu kì và tần số ===
Khi vật trở về vị trí cũ hướng cũ thì ta nói vật thực hiện 1 dao động toàn phần.
Một người có thể viết thời gian độc lập [[phương trình Schrödinger]],
Chu kỳ (T): của dao động điều hòa là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần. Đơn vị là giây
:: <math> \hat H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle ~,</math>
[[Chu kỳ]] dao động được xác định tỉ lệ nghịch với tần số góc:
:<math>T = \frac{2 \pi}{\omega}</math>
Các chức năng ''H<sub>n</sub>'' là các nhà vật lý' Nhất đa thức,
Tần số (f): của dao động điều hòa là số dao động tuần hoàn thực hiện trong một s. Đơn vị là 1/s hoặc Hz.
: <math>H_n(z)=(-1)^n~ e^{z^2}\frac{d^n}{dz^n}\left(e^{-z^2}\right).</math>
[[Tần số]] của dao động tỉ lệ nghịch với chu kỳ và tỉ lệ thuận với tần số góc:
Tương ứng năng lượng được
:<math>f = \frac{1}{T}</math>
[[Pha sóng|Pha]] của dao động là một hàm số của thời gian, đặc trưng cho trang thái dao động:
:<math>\phi = \omega t + \varphi
</math>
: <math> E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)=(2 n + 1) {\hbar \over 2} \omega~.</math>
Sự sai khác về pha giữa 2 dao động gọi là sự [[pha sóng|lệch pha]]. Khi độ lệch pha của 2 dao động là 2nπ (n là số nguyên) thì ta có 2 dao động [[đồng pha]]. Hai dao động được gọi là [[pha sóng|ngược pha]] nếu độ lệch pha là nπ (n là số nguyên lẻ).
=== Thang điều hành phương pháp ===
=== Vận tốc và gia tốc của dao động điều hòa ===
[[Tập tin:QHarmonicOscillator.png|phải|nhỏ|Xác suất mật độ <nowiki>|</nowiki>''ψ<sub>n</sub>''(''x'')<nowiki>|</nowiki><sup>2</sup> cho những ràng buộc eigenstates, bắt đầu với đất nước (''n'' = 0) xuống phía dưới và tăng năng lượng tới mức đỉnh. Trục ngang cho thấy các vị trí {{Mvar|x,}} và sáng, màu sắc đại diện cho xác suất cao hơn mật độ.]]
Các "thang điều hành" phương pháp, được phát triển bởi [[Paul Dirac]], cho phép tìm lời giải cho vấn đề năng lượng với giá trị riêng mà trực tiếp giải quyết các phương trình vi phân. Đó là khái quát cho một công thức phức tạp, đặc biệt là trong [[Lý thuyết trường lượng tử|lĩnh vực lượng tử lý thuyết]]. Sau này, chúng tôi xác định khai thác {{Mvar|a}} và nó liên hợp {{Math|''a''<sup>†</sup>}},
: <math>\begin{align}
==== Vận tốc ====
a &=\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right) \\
[[Vận tốc]] là đạo hàm của ly độ theo thời gian.
a^\dagger &=\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)
\end{align}</math>
This leads to the useful representation of <math>\hat{x}</math> and <math>\hat{p}</math>,
:<math>v = x' = -A \omega \sin(\omega t + \varphi
)</math>
: <math>\begin{align}
Vận tốc cũng biến thiên theo thời gian.
\hat x &= \sqrt{\frac{\hbar}{2}\frac{1}{m\omega}}(a^\dagger + a) \\
\hat p &= i\sqrt{\frac{\hbar}{2}m\omega}(a^\dagger - a) ~.
\end{align}</math>
The operator {{Mvar|a}} is not Hermitian, since itself and its adjoint {{Math|''a''<sup>†</sup>}} are not equal. The energy eigenstates {{Math|{{ket|''n''}}}}, when operated on by these ladder operators, give
*Tại <math>x=\pm A </math> thì <math>v=0</math>
*Tại <math>x=0</math> thì <math>v=\pm \omega A</math>
: <math>\begin{align}
[[Gia tốc]] cũng là một hàm tuần hoàn của thời gian:
a^\dagger|n\rangle &= \sqrt{n + 1} | n + 1\rangle \\
a|n\rangle &= \sqrt{n} | n - 1\rangle.
\end{align}</math>
:<math>a = v' = x'' = -A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi)</math>
: <math>a= - \omega^2 x</math>
*Tại <math>x=0 </math> thì <math>a=0</math>
*Tại <math>x=\pm A</math> thì <math>a=\pm \omega^2A</math>
=== Đồ thị của dao động điều hòa ===
Đồ thị của dao động điều hòa với <math>\varphi= 0</math> có dạng hình sin nên người ta còn gọi là dao động hình sin.
== Dao động điều hòa tắt dần (damped harmonic oscillation)==
Trong thực tế, các hệ thống cơ học dao động điều hòa thường chịu [[ma sát|lực ma sát]], cản trở chuyển động khiến cho dao động sẽ bị dập tắt sau một số chu kỳ, và chuyển động này gọi là dao động tắt dần.
Xét một hệ dao động chịu tác dụng của lực cản của môi trường. Lực cản của môi trường ngược chiều với chuyển động và tỉ lệ nghịch với vận tốc:
<math>\vec{F_c}=-b\vec{v}</math> với <math>b</math> là hệ số cản của môi trường
Áp dụng định luật II Newton, ta có:
: <math> F = - kx - b\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}</math>
Ta có thể viết lại dưới dạng phương trình vi phân bậc 2 thuần nhất:
: <math> \frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^{\,2} x = 0</math>
Trong đó:
: <math>\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}</math> là tần số góc riêng của hệ
: <math>\zeta = \frac{b}{2 \sqrt{mk}}</math> là hệ số tắt dần
Giá trị của hệ số <math>\zeta</math> xác định tính chất tắt dần của hệ dao động:
* ''Quá ngưỡng tắt dần'' (<math>\zeta > 1</math>): Hệ trở về vị trí cân bằng mà không dao động.
* ''Tắt dần tới hạn'' (<math>\zeta = 1</math>): Dao động của hệ bị dập tắt nhanh nhất khi chưa kịp hoàn thành dao động.
* ''Dưới ngưỡng tắt dần'' (<math>\zeta < 1</math>): Dao động của hệ bị tắt dần sau khi thực hiện một vài dao động, biên độ giảm dần về 0.
Tần số suy rộng của dao động dưới ngưỡng tắt dần được cho bởi:
:<math>\omega_1 = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}</math>
== Dao động điều hòa cưỡng bức (driven harmonic oscillation)==
Dao động điều hòa cưỡng bức là một dao động điều hòa thực hiện dưới tác dụng của một ngoại lực điều hòa (lực có nguồn gốc từ ngoài hệ dao động và độ lớn của lực cũng biến thiên theo thời gian theo [[hàm điều hòa]]) hoặc ngoại lực khác (như lực [[hàm bậc thang|bậc thang]]).
Dao động cưỡng bức là nghiệm của phương trình vi phân tổng quát:
: <math> \frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = F(t) </math>
Lúc đó, vế phải của phương trình sẽ biểu diễn tác dụng của ngoại lực, vế trái là dao động riêng của hệ với tần số dao động riêng ω0.
== Ví dụ ==
=== Dao động con lắc ===
[[Tập tin:Simple pendulum height.png|nhỏ|phải|200px|Dao động của một con lắc đơn dưới điều kiện không có ma sát và góc dao động nhỏ.]]
Giả sử một con lắc đơn có chiều dài l, dao động trong phạm vi góc rất nhỏ, và không ma sát, phương trình chuyển động góc của nó có thể viết dưới dạng:
:<math>{\mathrm{d}^2\theta\over \mathrm{d}t^2}+{g\over \ell}\theta=0.</math>
Lời giải của phương trình sẽ có dạng:
:<math>\theta(t) = \theta_0\cos\left(\sqrt{g\over \ell}t\right) \quad\quad\quad\quad |\theta_0| \ll 1</math>
Với <math>\theta_0</math> là biên độ góc (góc lệch lớn nhất). Chu kỳ dao động của con lắc sẽ được cho bởi:
:<math>T_0 = 2\pi\sqrt{\ell\over g}\quad\quad\quad\quad |\theta_0| \ll 1.</math>
=== Dao động lò xo ngang ===
[[Tập tin:Harmonic oscillator.svg|nhỏ|phải|200px|Dao động con lắc lò xo nằm ngang ở 3 vị trí: (A) vị trí cân bằng, (B) bị nén, (C) bị giãn.]]
Đối với hệ con lắc lò xo nằm ngang, lực tạo ra sự dao động là [[lực đàn hồi]] của lò xo, theo định luật Hooke, nó quan hệ với độ biến dạng của lò xo (trong trường hợp này trùng với tọa độ con lắc) theo công thức:
:<math>F \left(t \right) =-kx \left(t \right) </math>
với ''F'' là lực đàn hồi, ''k'' là hệ số đàn hồi của lò xo, ''x'' là ly độ của con lắc.
Áp dụng định luật II Newton cho chuyển động ngang của con lắc dưới tác dụng của lực đàn hồi, ta sẽ có phương trình vi phân bậc 2 của quá trình dao động:
:<math> F(t) = -kx(t) = m \frac {\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{t}^{2}} x \left(t \right) = ma. </math>
Và lời giải của phương trình có dạng:
:<math> x \left(t \right) =A \cos \left(\sqrt{k \over m}t \right).</math>
với ''A'' là biên độ dao động, và lúc này chu kỳ dao động sẽ được cho bởi:
:<math> T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} </math>
Chú ý rằng, trong chuyển động của con lắc lò xo nằm ngang, bài toán có thể giải theo cách tìm các dạng năng lượng gồm động năng và thế năng. Động năng của con lắc sẽ là:
<math>E_k = \frac{1}{2} m.v^2 </math>
còn thế năng ở đây chính là thế năng đàn hồi của lò xo, cho bởi:
<math>E_p = \frac{1}{2} k. x^2 </math>
=== Dao động điện từ trong mạch LC ===
== Xem thêm ==
* [[Dao động]]
* [[Chuyển động cơ học]]
== Tham khảo ==
{{Tham khảo}}
== Liên kết ngoài ==
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html Điều Hòa Lượng Tử Dao Động]
[[Thể loại:Dao động]]
* [http://behindtheguesses.blogspot.com/2009/03/quantum-harmonic-oscillator-ladder.html Lý do cho lựa chọn thang khai thác]
[[Thể loại:Chuyển động sóng]]
* [http://www.brummerblogs.com/curvature/3d-harmonic-oscillator-eigenfunctions/ Sống 3D cường độ âm mưu của lượng dao động điều hòa]
* [https://noppa.oulu.fi/noppa/kurssi/763693s/materiaali/763693S_monqo.pdf Hướng và hãm lượng dao động điều hòa (bài giảng của nhiên "quang học lượng tử trong các mạch điện")]
[[Thể loại:Dao động tử]]
[[Thể loại:Cơ học lượng tử]]
[[Thể loại:Pages with unreviewed translations]]
| 