Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Giả thuyết abc”

Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi
Dòng 2:
 
==Phát biểu==
Để hiểu giả thuyết này trước tiên chúng ta cùng tìm hiểu về một khái niệm gọi là đẳng phương của một số nguyên (tạm dịch từ radical of an integer)
Tồn tại một số [[dương]] ''k'' sao cho với mọi [[số nguyên]] [[dương]] ''a'', ''b'', ''c'' thỏa mãn các điều kiện:
* ''a'' + ''b'' = ''c''
* [[ước số chung lớn nhất]] của ''a'' và ''b'' là 1
 
Trong [[lý thuyết số]], '''đẳng phương''' của một [[số nguyên dương]] ''n'' được định nghĩa là tích của các số nguyên tố trong [[Định lý cơ bản của số học|phân tích thừa số nguyên tố]] của ''n'' với điều kiện mỗi số nguyên tố trong phân tích ra thừa số nguyên tố của ''n'' chỉ xuất hiện duy nhất một lần trong tích này, ký hiệu là rad(n).
Thì chúng ta có ''c'' < ''G''<sup>''k''</sup>. Trong đó, ''G'' là [[nhân tử không chính phương]] của ''a'', ''b'' và ''c''.
 
:<math>\displaystyle\mathrm{rad}(n)=\prod_{\scriptstyle p\mid n\atop p\text{ prime}}p</math>
 
Giải thích khái niệm trên như sau, theo [[định lý cơ bản của số học]] mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố.
Mọi số tự nhiên ''n'' lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng:
:<math>n={p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2} {\dots} {p_k}^{\alpha_k} </math>
 
trong đó <math>{p_1},{p_2},{\dots}, {p_k} </math> là các số nguyên tố và <math>\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k </math> là các số tự nhiên dương.<ref>{{harvtxt|Long|1972|p=44}}</ref><ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=53}}</ref><ref>{{Harvtxt|Hardy|Wright|2008|loc=Thm 2}}</ref> Tuy nhiên do tính giao hoán của phép nhân các số tự nhiên, tính duy nhất bỏ qua các sai khác về thứ tự các thừa số.
Vế phải của đẳng thức này được gọi là '''dạng phân tích tiêu chuẩn''' của ''n''.
 
Như vậy :<math>rad(n)= p_1p_2...p_k</math>
 
Ví dụ:
: <math>6936 = 2^3.3.17^2, \,\!</math>
 
thì : <math>rad(6936) = rad(2^3.3.7^2)=rad(2.3.17)=2.3.17, \,\!</math>
 
: <math>1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2 \,\!</math>
 
thì : <math>rad(1200) = rad(2^4.3.5^2)=rad(2.3.5)=2.3.5 \,\!</math>
 
:'''Giả thuyết ABC.''' cho ''ε'' là một số thực dương tùy ý, khi đó tồn tại một số hữu hạn ba số (''a'', ''b'', ''c'') nguyên dương nguyên tố đôi một cùng nhau mà ''a'' + ''b'' = ''c'', sao cho:
::<math>c>\operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}.</math>
 
Phát biểu trên tương đương với phát biểu sau đây
 
:'''Giả thuyết ABC II.''' Với ''ε'' là số thực dương tùy ý, tồn tại hằng số ''K<sub>ε</sub>'' sao cho với tất cả các bộ ba số nguyên dương nguyên tố đôi một cùng nhau (''a'', ''b'', ''c''), với''a'' + ''b'' = ''c'':
::<math>c < K_{\varepsilon} \cdot \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}.</math>
 
Một phát biểu thứ ba tương đương như sau, ta gọi ''giá trị'' ''q''(''a'', ''b'', ''c'') của ba số (''a'', ''b'', ''c''), định nghĩa bằng biểu thức
 
: <math> q(a, b, c) = \frac{ \log(c) }{ \log( \operatorname{rad}( abc ) ) }.</math>
 
Ví dụ,
 
:''q''(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
:''q''(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...
 
:'''Giả thuyết ABC III.''' cho ''ε'' là một số thực dương tùy ý, tồn tại một số lượng hữu hạn (''a'', ''b'', ''c'') nguyên dương nguyên tố cùng nhau với ''a'' + ''b'' = ''c'' sao cho ''q''(''a'', ''b'', ''c'') > 1 + ''ε''.
 
==Tham khảo gốc ==