Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một [[số tự nhiên]] bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."
A
=== Cách chứng minh khác ===
Để chứng minh: "<math>\sqrt{2}</math> là một số vô tỉ" người ta còn dùng [[phương pháp phản chứng]] theo một cách khác, cách này ít nổi tiếng hơn cách ở trên.
# Giả sử rằng <math>\sqrt{2}</math> là một [[số hữu tỉ]]. Điều này có nghĩa là [[tồn tại]] hai [[số nguyên]] dương ''m'' và ''n'' sao cho <math>\frac{m}{n} = \sqrt{2}</math>
# Biến đổi đẳng thức trên, ta có:<math>\frac{m}{n} = \frac{2n - m}{m - n}</math>
# Vì <math>\sqrt{2}</math> > 1, nên từ (1) suy ra <math>m > n \Leftrightarrow m > 2n - m </math>
# Từ (2) và (3) suy ra <math>\frac{2n - m}{m - n}</math> là [[phân số rút gọn]] của [[phân số]] <math>\frac{m}{n}</math>
Từ (4) suy ra, <math>\frac{m}{n}</math> không thể là phân số tối giản hay <math>\sqrt{2}</math> không thể là [[số hữu tỉ]] - mâu thuẫn với giả thiết <math>\sqrt{2}</math> là một [[số hữu tỉ]]. Vậy <math>\sqrt{2}</math> phải là số vô tỉ.
Cách chứng minh trên tương tự với cách dùng phép dựng hình để chứng minh giả thuyết về số <math>\sqrt{2}</math> - một loại [[phương pháp chứng minh]] được sử dụng bởi các nhà hình học Hy lạp cổ đại. Xét một [[tam giác#tam giác vuông cân|tam giác vuông cân]] mà độ dài tương ứng của các [[cạnh góc vuông]] và [[tam giác#Phân loại tam giác|cạnh huyền]] là hai [[số tự nhiên|số nguyên dương]] ''n'' và ''m''. Áp dụng [[Định lý Pytago]], ta suy ra [[tỉ số]] <math>\frac{m}{n}</math> bằng <math>\sqrt{2}</math>. Mặt khác, bằng phương pháp dựng hình cổ điển [[com-pa và thước thẳng]] ta dựng được một [[tam giác#tam giác vuông cân|tam giác vuông cân]] '''nhỏ hơn''' với độ dài của các cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng bằng <math>m - n</math> và <math>2n - m</math>. Áp dụng [[Định lý Pytago]] cho tam giác thứ hai, ta suy ra [[tỉ số]] <math>\frac{2n - m}{m - n}</math> cũng bằng <math>\sqrt{2}</math>. Như vậy, <math>\frac{m}{n} = \frac{2n - m}{m - n}</math>, điều này chứng tỏ phân số <math>\frac{m}{n}</math> không thể là [[phân số tối giản]] hay <math>\sqrt{2}</math> không phải là [[số hữu tỉ]] mà phải là số vô tỉ.
