Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Số vô tỉ”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
|||
Dòng 10:
Như một hệ quả của [[Tranh luận đường chéo của Cantor|chứng minh của Cantor]] rằng các số thực là [[Tập hợp không đếm được|không thể đếm được]] và các số [[Số hữu tỉ|hữu tỷ]] có thể đếm được, theo đó hầu như tất cả các số thực là các số vô tỷ.<ref>{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/contributionstot003626mbp|title=Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers|last=Cantor|first=Georg|publisher=Dover|year=1955|isbn=978-0-486-60045-1|editor-last=[[Philip Jourdain]]|location=New York|orig-year=1915}}</ref>
== Lịch sử ==
[[Tập tin:Set_of_real_numbers_(diagram).svg|nhỏ| Tập hợp các số thực (R), bao gồm các số hữu tỷ (Q), bao gồm các số nguyên (Z), bao gồm các số tự nhiên (N). Các số thực cũng bao gồm các số vô tỷ (R \ Q). ]]
=== Hy Lạp cổ đại ===
Bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của các số vô tỷ thường được quy cho một người theo trường phái Pythagore (có thể là Hippasus của Metapontum ), <ref>{{Chú thích tạp chí|last=Kurt Von Fritz|year=1945|title=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum|journal=The Annals of Mathematics|ref=harv}}</ref> người có thể đã phát hiện ra chúng trong khi xác định các cạnh của [[ngôi sao năm cánh]] . <ref>{{Chú thích tạp chí|last=James R. Choike|year=1980|title=The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number|journal=The Two-Year College Mathematics Journal|ref=harv}}.</ref> Phương pháp Pythagore hiện tại đã tuyên bố rằng phải có một số đơn vị đủ nhỏ, không thể phân chia, có thể vừa khít với một trong những độ dài này cũng như các chiều dài khác. Tuy nhiên, Hippasus, vào thế kỷ thứ 5 TCN, đã có thể suy luận rằng trên thực tế không có đơn vị đo lường chung nào, và việc khẳng định sự tồn tại như vậy trên thực tế là một mâu thuẫn. Ông đã làm điều này bằng cách chứng minh rằng nếu cạnh huyền của tam giác vuông cân thực sự có tỷ lệ đo được khi so với cạnh góc vuông, thì một trong những độ dài được đo theo đơn vị đo đó phải là số lẻ và số chẵn, điều này là không thể. Lý luận của ông là như sau:
* Giả sử chúng ta có một tam giác vuông cân với các số nguyên cạnh ''a'', ''b'' và ''c'' . Tỷ lệ của cạnh huyền với một chân được biểu thị bằng ''c'':''b'' .
* Giả sử ''a'', ''b'' và ''c'' là các số hạng nhỏ nhất có thể (''nghĩa là'' chúng không có ước số chung).
* Theo [[Định lý Pythagoras|định lý Pythagore]] : ''c''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup> . (Vì tam giác là cân, nên ''a'' = ''b'' ).
* Vì ''c''<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup>, ''c''<sup>2</sup> chia hết cho 2 và do đó chẵn.
* Vì ''c''<sup>2</sup> là chẵn nên ''c'' phải chẵn.
* Vì ''c'' là chẵn nên chia ''c'' cho 2 có thương là số nguyên. Đặt ''y'' là số nguyên này (''c'' = 2''y'').
* Bình phương cả hai vế của ''c'' = 2''y'' thu được ''c''<sup>2</sup> = (2''y'')<sup>2</sup> hoặc ''c''<sup>2</sup> = 4''y'' <sup>2</sup> .
* Thay 4''y''<sup>2</sup> cho ''c''<sup>2</sup> theo phương trình thứ nhất ( ''c''<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup>) cho kết quả 4''y''<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup> .
* Chia cho 2 thu được 2''y''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup> .
* Vì ''y'' là một số nguyên và 2''y''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup>, ''b''<sup>2</sup> phải chia hết cho 2 và do đó là số chẵn.
* Vì ''b''<sup>2</sup> là chẵn nên ''b'' phải chẵn.
* Chúng ta vừa chỉ ra rằng cả ''b'' và ''c'' phải là số chẵn. Do đó chúng có ước số chung là 2. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả định rằng chúng không có ước số chung. Mâu thuẫn này chứng minh rằng cả ''c'' và ''b'' không thể là số nguyên và do đó, có sự tồn tại của một số không thể biểu thị bằng tỷ lệ của hai số nguyên. <ref>[[Morris Kline|Kline, M.]] (1990). ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Original work published 1972). p.33.</ref>
[[Toán học Hy Lạp|Các nhà toán học Hy Lạp đã]] gọi tỷ lệ này là các số không thể ''đo'' ''lường được'', hoặc không thể diễn tả được. Tuy nhiên, Hippasus không được ca ngợi vì những nỗ lực của mình: theo một truyền thuyết, ông đã khám phá ra điều này khi đang ở ngoài biển và sau đó bị các nhà toán học cùng trường phái Pythagore của ông ném ra khỏi tàu vì đã tạo ra một yếu tố trong vũ trụ mà phản đối lại học thuyết, rằng tất cả các hiện tượng trong vũ trụ có thể được tối giản thành các số nguyên và tỷ lệ của chúng.” <ref>Kline 1990, p. 32.</ref> Một truyền thuyết nói rằng Hippasus chỉ đơn thuần là phải đi lưu vong vì chứng minh này. Dù hậu quả của Hippasus là gì, khám phá của ông đã đặt ra một vấn đề rất nghiêm trọng đối với toán học Pythagore, vì nó phá vỡ giả định rằng số lượng và hình học không thể tách rời – một nền tảng của lý thuyết này.
== Biểu diễn thập phân ==
| |||