|
== Lịch sử ==
[[Tập tin:Set_of_real_numbers_(diagram).svg|nhỏ| Tập hợp các số thực (R), bao gồm các số hữu tỷ (Q), bao gồm các số nguyên (Z), bao gồm các số tự nhiên (N). Các số thực cũng bao gồm các số vô tỷ (R \ Q). ]]
=== Hy Lạp cổ đại ===
Bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của các số vô tỷ thường được quy cho một người theo trường phái Pythagore (có thể là Hippasus của Metapontum ), <ref>{{Chú thích tạp chí|last=Kurt Von Fritz|year=1945|title=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum|journal=The Annals of Mathematics|ref=harv}}</ref> người có thể đã phát hiện ra chúng trong khi xác định các cạnh của [[ngôi sao năm cánh]] . <ref>{{Chú thích tạp chí|last=James R. Choike|year=1980|title=The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number|journal=The Two-Year College Mathematics Journal|ref=harv}}.</ref> Phương pháp Pythagore hiện tại đã tuyên bố rằng phải có một số đơn vị đủ nhỏ, không thể phân chia, có thể vừa khít với một trong những độ dài này cũng như các chiều dài khác. Tuy nhiên, Hippasus, vào thế kỷ thứ 5 TCN, đã có thể suy luận rằng trên thực tế không có đơn vị đo lường chung nào, và việc khẳng định sự tồn tại như vậy trên thực tế là một mâu thuẫn. Ông đã làm điều này bằng cách chứng minh rằng nếu cạnh huyền của tam giác vuông cân thực sự có tỷ lệ đo được khi so với cạnh góc vuông, thì một trong những độ dài được đo theo đơn vị đo đó phải là số lẻ và số chẵn, điều này là không thể. Lý luận của ông là như sau:
* Giả sử chúng ta có một tam giác vuông cân với các số nguyên cạnh ''a'', ''b'' và ''c'' . Tỷ lệ của cạnh huyền với một chân được biểu thị bằng ''c'':''b'' .
* Giả sử ''a'', ''b'' và ''c'' là các số hạng nhỏ nhất có thể (''nghĩa là'' chúng không có ước số chung).
* Theo [[Định lý Pythagoras|định lý Pythagore]] : ''c''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup> . (Vì tam giác là cân, nên ''a'' = ''b'' ).
* Vì ''c''<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup>, ''c''<sup>2</sup> chia hết cho 2 và do đó chẵn.
* Vì ''c''<sup>2</sup> là chẵn nên ''c'' phải chẵn.
* Vì ''c'' là chẵn nên chia ''c'' cho 2 có thương là số nguyên. Đặt ''y'' là số nguyên này (''c'' = 2''y'').
* Bình phương cả hai vế của ''c'' = 2''y'' thu được ''c''<sup>2</sup> = (2''y'')<sup>2</sup> hoặc ''c''<sup>2</sup> = 4''y'' <sup>2</sup> .
* Thay 4''y''<sup>2</sup> cho ''c''<sup>2</sup> theo phương trình thứ nhất ( ''c''<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup>) cho kết quả 4''y''<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup> .
* Chia cho 2 thu được 2''y''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup> .
* Vì ''y'' là một số nguyên và 2''y''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup>, ''b''<sup>2</sup> phải chia hết cho 2 và do đó là số chẵn.
* Vì ''b''<sup>2</sup> là chẵn nên ''b'' phải chẵn.
* Chúng ta vừa chỉ ra rằng cả ''b'' và ''c'' phải là số chẵn. Do đó chúng có ước số chung là 2. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả định rằng chúng không có ước số chung. Mâu thuẫn này chứng minh rằng cả ''c'' và ''b'' không thể là số nguyên và do đó, có sự tồn tại của một số không thể biểu thị bằng tỷ lệ của hai số nguyên. <ref>[[Morris Kline|Kline, M.]] (1990). ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Original work published 1972). p.33.</ref>
[[Toán học Hy Lạp|Các nhà toán học Hy Lạp đã]] gọi tỷ lệ này là các số không thể ''đo'' ''lường được'', hoặc không thể diễn tả được. Tuy nhiên, Hippasus không được ca ngợi vì những nỗ lực của mình: theo một truyền thuyết, ông đã khám phá ra điều này khi đang ở ngoài biển và sau đó bị các nhà toán học cùng trường phái Pythagore của ông ném ra khỏi tàu vì đã tạo ra một yếu tố trong vũ trụ mà phản đối lại học thuyết, rằng tất cả các hiện tượng trong vũ trụ có thể được tối giản thành các số nguyên và tỷ lệ của chúng.” <ref>Kline 1990, p. 32.</ref> Một truyền thuyết nói rằng Hippasus chỉ đơn thuần là phải đi lưu vong vì chứng minh này. Dù hậu quả của Hippasus là gì, khám phá của ông đã đặt ra một vấn đề rất nghiêm trọng đối với toán học Pythagore, vì nó phá vỡ giả định rằng số lượng và hình học không thể tách rời – một nền tảng của lý thuyết này.
Việc phát hiện ra các tỷ lệ không thể tối giản/đo được cho thấy một vấn đề khác mà người Hy Lạp phải đối mặt: mối quan hệ của sự rời rạc với sự liên tục. Điều này đã được [[Zeno xứ Elea|Zeno of Elea]] đưa ra ánh sáng, người đã đặt câu hỏi về quan niệm rằng số lượng là rời rạc và bao gồm một số lượng đơn vị hữu hạn có kích thước nhất định. Các quan niệm của Hy Lạp trong quá khứ cho rằng chúng nhất thiết phải có, vì toàn bộ các số đại diện cho các đối tượng rời rạc và tỷ lệ tương xứng biểu thị mối quan hệ giữa hai bộ sưu tập các đối tượng rời rạc, <ref name="Kline 1990, p.34">Kline 1990, p.34.</ref> nhưng Zeno thấy rằng "trong thực tế số lượng không phải là tổng/tập hợp của các đơn vị; Đây là lý do tại sao các tỷ lệ không thể giải quyết được [số lượng] xuất hiện. Số lượng, nói cách khác là liên tục." Điều này có nghĩa là, trái với quan niệm phổ biến về thời gian, không thể có một đơn vị không thể chia nhỏ nhất, mà chúng ta có thể dùng nó như đơn vị đo cho bất kỳ số lượng nào. Trong thực tế, các phân chia số lượng này nhất thiết phải là [[Vô tận|vô hạn]] . Ví dụ, hãy xem xét một đoạn thẳng: đoạn thẳng này có thể được chia làm đôi, một nửa chia thành một nửa nữa, một nửa mới chia này tiếp tục chia thành một nửa nữa, và như vậy. Quá trình này có thể tiếp tục đến vô tận, vì luôn có một nửa khác bị chia đôi. Càng nhiều lần đoạn thẳng được chia đôi, đơn vị đo càng gần bằng 0, nhưng nó không bao giờ đạt đến số 0 chính xác. Đây chỉ là những gì Zeno tìm cách chứng minh. Ông đã tìm cách chứng minh điều này bằng cách xây dựng [[Nghịch lý Zeno|bốn nghịch lý]], điều này chứng minh những mâu thuẫn vốn có trong tư tưởng toán học thời đó. Mặc dù nghịch lý của Zeno đã chứng minh chính xác những thiếu sót của các quan niệm toán học khi đó, chúng không được coi là bằng chứng của sự thay thế. Trong suy nghĩ của người Hy Lạp, việc bác bỏ tính hợp lệ của một quan điểm không nhất thiết phải chứng minh tính hợp lệ của một quan điểm khác, và do đó phải tiến hành điều tra thêm.
Bước tiếp theo được [[Eudoxus của Cnidus]] thực hiện, người đã chính thức nêu ra một lý thuyết mới về tỷ lệ có tính đến số lượng tương xứng cũng như không thể so sánh được. Trung tâm của ý tưởng của ông là sự phân biệt giữa cường độ và số lượng. Một cường độ ... không phải là một con số mà là viết tắt của các thực thể như đoạn thẳng, góc, diện tích, khối lượng và thời gian có thể thay đổi, như chúng ta sẽ nói, liên tục. Độ lớn trái ngược với các con số, nhảy từ giá trị này sang giá trị khác, chẳng hạn từ 4 đến 5."<ref>Kline 1990, p.48.</ref> Các số được tạo thành từ một số đơn vị nhỏ nhất, không thể chia, trong khi cường độ có thể giảm vô hạn. Do không có giá trị định lượng nào được gán cho độ lớn, Eudoxus sau đó có thể tính cả hai tỷ lệ tương xứng và không thể đo được bằng cách xác định tỷ lệ theo độ lớn của nó và tỷ lệ là một đẳng thức giữa hai tỷ lệ. Bằng cách lấy các giá trị định lượng (số) ra khỏi phương trình, ông tránh được cái bẫy phải biểu thị một số vô tỷ dưới dạng số. Lý thuyết của Eoxoxus cho phép các nhà toán học Hy Lạp đạt được tiến bộ to lớn về hình học bằng cách cung cấp nền tảng logic cần thiết cho các tỷ lệ vô tỷ. <ref>Kline 1990, p.49.</ref> Tính không tương thích này được giải quyết trong Tác phẩm Cơ bản của Euclid, Quyển X, Proposition 9.
== Biểu diễn thập phân ==
|
