Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Lý thuyết trường lượng tử”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n bổ sung nguyên lý của lý thuyết trường lượng tử |
|||
Dòng 59:
'''Trường cổ điển'''
Một trường cổ điển là một hàm số của tọa độ không thời gian có sẵn. Ví dụ như trường hấp dẫn Newton '''g'''('''x''', ''t'') hay điện trường '''E'''('''x''', ''t''). Một trường cổ điển có thể hiểu như là một đại lượng
Rất nhiều hiện tượng có những tính chất lượng tử mà không thể giải thích bởi lý thuyết trường cổ điển. Hiện tượng như hiệu ứng quang điện có thể được giải thích hiệu quả nhất qua các hạt rời rạc
Định lượng chính tắc và tích phân từng phần là 2 công thức phổ biến của QFT. Để trình bày QFT một cách cơ bản, ta cần phải nhìn một cách khái quát hóa.
Trường cổ điển cơ bản nhất là trường vô hướng - một số thực có mặt tại mọi điểm trong không gian
<math>{\displaystyle L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],}</math>
trong đó <math> {\displaystyle {\dot {\phi }}
<math> {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right]+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,}</math>
Dòng 79:
Hay còn được biết đến như là phuơng trình Klein-Gordon.
Klein-Gordon là một phương trình sóng, do đó nghiệm của nó có thể viết dưới dạng tổng của các mode (thu được thông qua biến đổi Fourier) như sau:
<math> {\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^{*}e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right),}
Dòng 92:
Do đó mỗi mode tuơng ứng với một '''p''' có thể coi như là một dao động điều hòa với tần số ''ω''<sub>'''p.'''</sub>
'''Lượng tử hóa chính tắc'''
Quá trình lượng tử hóa cho trường vô hướng cũng tương tự như sự thăng tiến từ dao động tử điều hòa lên thành dao động tử điều hòa lượng tử.
Phương trình dao động điều hòa cổ điển:
<math>{\displaystyle x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}ae^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{*}e^{i\omega t},}</math>
trong đó ''a'' là số phức (đã được chuẩn hóa theo quy ước), và ''ω'' là tần số dao động. Chú ý rằng ''x'' thay thế cho hạt trong dao động điều hòa tại vị trí cân bằng, và không nên nhầm lẫn với kí hiệu '''x''' của trường.
Đối với dao động điều hòa lượng tử, ''x''(''t'') được nâng cấp lên thành toán tử tuyến tính <math>{\displaystyle {\hat {x}}(t)}</math>:
<math>{\displaystyle {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega t}.}</math>
Số phức ''a'' và ''a''<sup>*</sup> được thay thế bằng toán tử sinh và hủy hạt <math>{\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}</math>và <math>{\displaystyle {\hat {a}}}
</math>, trong đó † kí hiệu cho liên hợp Hermitian. Quan hệ giữa chúng là
<math>{\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1.}</math>
Trạng thái chân không <math> {\displaystyle |0\rangle }</math>- trạng thái có mức năng lượng thấp nhất, được định nghĩa là
<math>{\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0.}</math>
Mọi trạng thái lượng tử của một dao động tử điều hòa có thể thu được từ <math> {\displaystyle |0\rangle }</math> bằng cách tác dụng một số lần toán tử sinh hạt:
<math>{\displaystyle |n\rangle =({\hat {a}}^{\dagger })^{n}|0\rangle .}</math>
Bằng phương pháp tương tự, một trường số thực ''ϕ'' cũng được lượng tử hóa thành toán tử <math> {\displaystyle {\hat {\phi }}}</math>, trong khi đó ''a''<sub>'''p'''</sub> và ''a''<sub>'''p'''</sub><sup>*</sup> được thay thế bằng toán tử sinh và hủy <math>{\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }}</math> và <math> {\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}</math> cho '''p''' cụ thể:
<math>{\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).}</math>
quan hệ giữa chúng
<math>{\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }]=[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=0,}</math>
trong đó ''δ'' là hàm delta Dirac. Trạng thái chân không <math> {\displaystyle |0\rangle }</math> được định nghĩa là
<math>{\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad {\text{với mọi }}\mathbf {p} .}</math>
Mọi trạng thái lượng tử của trường có thể thu được từ trạng thái chân không bằng cách tác dụng nhiều lần toán tử sinh:
<math>{\displaystyle ({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dagger })^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p} _{2}}^{\dagger }({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dagger })^{2}|0\rangle .}</math>
Mặc dù khái niệm trường xuất hiện trong Lagrangian một cách tuyến tính, trạng thái lượng tử của trường là rời rạc. Trong khi không gian trạng thái của dao động tử điều hòa lượng tử bao gồm tất cả các mức năng lượng rời rạc của hạt dao động thì không gian trạng thái của trường lượng tử bao gồm các mức năng lượng rời rạc của một số lượng hạt tùy ý. Sau này không gian đó được biết tới như là không gian Fock, nó được dùng để giải thích việc số lượng hạt trong hệ lượng tử tương đối tính là không cố định. Quá trình lượng tử hóa số hạt bất kì thay vì một hạt thường được gọi là sự lượng tử hóa lần thứ 2.
Quá trình trên là ứng dụng trực tiếp của cơ học lượng tử và có thể dùng để lượng tử hóa trường vô hướng, trường Dirac, trường vector và thậm chí là trong lý thuyết dây. Dù vậy, toán tử sinh và hủy cũng chỉ được định nghĩa hoàn chỉnh trong lý thuyết đơn giản nhất mà không có sự tương tác. Trong trường hợp trường vô hướng thực, sự tồn tại của các toán tử này là kết quả của việc phân tích nghiệm của trường cổ điển ra tổng của các mode dao động. Để tính toán đối với các tương tác có kể tới hấp dẫn, ta cần đến lý thuyết nhiễu loạn.
Hàm Lagrangian của mọi trường lượng tử trong thực tế luôn bao gồm các số hạng tương tác cộng với số hạng của trường tự do.
<br />
==Tham khảo==
| |||